Uma variável aleatória é uma variável quantitativa, cujo resultado (valor) depende de fatores aleatórios. Um exemplo de uma variável aleatória é o resultado do lançamento de um dado que pode dar qualquer número entre 1 e 6. Embora possamos conhecer os seus possíveis resultados, o resultado em si depende de fatores de sorte (álea). Uma variável aleatória é uma medição que gera valores não-antecipados. O conceito de variável aleatória é essencial em estatística e em outros métodos quantitativos para a representação de fenômenos incertos.
As variáveis aleatórias podem ser classificadas em variáveis aleatórias discretas, contínuas e mistas.
Um exemplo de uma variável aleatória é a altura de uma pessoa, em que o conjunto de pessoas é e a variável aleatória é a função que mapeia a pessoa a sua altura . Com a lei da probabilidade associada a é possível calcular a probabilidade de a altura ser em qualquer subconjunto de valores entre 180 centímetros e 190 centímetros ou a probabilidade de a altura ser menos que 150 centímetros ou mais que 200 centímetros .
Definição informal thumb|500px|Ilustração de uma função de uma variável aleatória. A variável aleatória é a função mensurável de um conjunto de resultados possíveis para um conjunto .
Em matemática, uma variável aleatória pode ser definida como uma função que associa a todo evento pertencente a uma partição do espaço amostral um único número real, isto é, . É comum a representação das variáveis aleatórias por letras maiúsculas e dos valores assumidos por letras minúsculas (ver ilustração).
Entre as definições informais frequentemente utilizadas para as variáveis aleatórias estão:
Uma variável aleatória é uma variável que pode assumir diferentes valores numéricos, definidos para um evento de um espaço amostral . Uma variável aleatória pode ser entendida como o resultado numérico de operar um mecanismo não determinístico ou de fazer uma experiência não determinística para gerar resultados aleatórios. Uma variável aleatória tem resultados que tendem a variar entre as observações devido a fatores relacionados a chance. Um exemplo de uma variável aleatória é a altura de uma pessoa, em que o conjunto de pessoas é e a variável aleatória é a função que mapeia a pessoa a sua altura . Com a lei da probabilidade associada a é possível calcular a probabilidade de a altura ser em qualquer subconjunto de valores entre 180 centímetros e 190 centímetros ou a probabilidade de a altura ser menos que 150 centímetros ou mais que 200 centímetros .
Outro exemplo de uma variável aleatória é o lançamento de um dado, em que sendo o resultado de lançamentos do dado. Todas as probabilidades de diferentes resultados são dadas pela medida de probabilidade . Seja o resultado do lançamento do dado, . Então, a probabilidade de ser menor ou igual a 3 é a medida do conjunto de resultados , denotado como
Extensões Quando não é necessariamente uma função real , em que é qualquer espaço (espaço mensurável), costuma-se chamar a variável de elemento aleatório. O termo variável aleatória é tradicionalmente limitado ao caso real , o que assegura que é possível definir quantidades como o valor esperado e a variância de uma variável aleatória, sua função de distribuição acumulada e os momentos de sua distribuição.
Entretanto, a definição é válida para qualquer espaço mensurável . Então, é possível considerar elementos aleatórios de outros conjuntos como valores booleanos aleatórios, variáveis categóricas, números complexos, vetores, matrizes, sequências, árvores, conjuntos, formas, variedades e funções. Portanto, é possível referir-se a uma variável aleatória do tipo .
O conceito mais geral de elemento aleatório é particularmente útil em disciplinas como teoria dos grafos, aprendizado de máquina, processamento de linguagem natural e outras áreas da matemática discreta ou da ciência da computação, nas quais há geralmente o interesse de modelar variação aleatória de estrutura de dados não numéricos. Porém, em alguns casos é conveniente representar cada elemento de usando um ou mais números reais. O elemento aleatório pode opcionalmente ser representado como um vetor de variáveis aleatórias reais (definidas no mesmo espaço de probabilidade , que permite que variáveis aleatórias diferentes co-variem). Por exemplo: Uma palavra aleatória pode ser representada como um número inteiro aleatório que serve como um índice no vocabulário de palavras possíveis. Ela também pode ser representada como um vetor aleatório cujo comprimento é igual ao tamanho do vocabulário, em que os únicos valores de probabilidade positiva são , , e a posição do número 1 indica a palavra. Uma sentença aleatória de um dado comprimento pode ser representada com um vetor de palavras aleatórias. Um grafo aleatório em dados vértices pode ser representado como uma matriz X de variáveis aleatórias, cujos valores especificam a matriz de adjacência do grafo aleatório. Uma função aleatória pode ser representada como uma coleção de variáveis aleatórias , dados os valores das funções nos vários pontos no domínio da função. são variáveis aleatórias reais desde que a função seja uma função real. Por exemplo, o processo estocástico é uma função aleatória de tempo, um vetor aleatório é uma função aleatória de algum conjunto de índices como e campo aleatório é uma função aleatória em qualquer conjunto (tipicamente, tempo, espaço ou conjunto discreto).
Exemplo Uma variável aleatória também pode ser uma função da variável aleatória original (transformação da variável aleatória original). Isto é, uma função da função ou uma função composta. No espaço amostral do lançamento simultâneo de duas moedas, há = {(cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara), (coroa, coroa)}. É possível definir a variável aleatória como o número de caras, a variável aleatória como o número de caras multiplicado por três mais o número de coroas multiplicado por dois e a variável aleatória como o número de caras multiplicado por 2 .
Ponto amostral Variável aleatória = número de carasVariável aleatória Variável aleatória (cara, cara) (cara, cara) = 2 Y(cara, cara) = 4 + 2 = 6 Z((cara, cara)) = 2 x 2 = 4 (cara, coroa) (cara, coroa) = 1 Y(cara, coroa) = 4 + 1 = 5 Z((cara, coroa)) = 2 x 1 = 2 (coroa, cara) (coroa, cara) = 1 Y(coroa, cara) = 4 + 1 = 5 Z((coroa, cara)) = 2 x 1 = 2 (coroa, coroa) (coroa, coroa) = 0 Y(coroa, coroa) = 4 + 0 = 4 Z((coroa, coroa)) = 2 x 0 = 0
Caso padrão Quando a imagem (variação) de é finita ou infinita contável, a variável aleatória é chamada de variável aleatória discreta e sua distribuição pode ser descrita por uma função massa de probabilidade que atribui uma probabilidade a cada valor na imagem de . Quando a imagem de é infinita contável, a variável aleatória é chamada de variável aleatória contínua e sua distribuição pode ser descrita por uma função densidade de probabilidade que atribui probabilidades aos intervalos.
Em particular, cada ponto individual precisa ter necessariamente probabilidade zero para uma variável aleatória absolutamente contínua. Nem todas as variáveis aleatórias são absolutamente contínuas. Por exemplo, uma distribuição mista. Tais variáveis aleatórias não podem ser descritas por uma função densidade ou por uma função massa de probabilidade. Qualquer variável aleatória pode ser descrita por uma função de distribuição acumulada, que descreve a probabilidade que a variável aleatória ser menor ou igual a um certo valor.
Definição formal Em termos mais abstratos, uma variável aleatória é uma função que mapeia um resultado de um evento (em um ponto em um espaço de probabilidade) a um resultado matematicamente conveniente, geralmente um número real. É a atribuição de um número a um resultado, um procedimento que paradoxalmente não é nem aleatório nem variável. Uma função que caracteriza uma variável aleatória sempre deve ser mensurável, o que exclui certos casos em que as variáveis aleatórias são infinitamente sensíveis a qualquer pequena alteração no resultado. Então, formalmente uma variável aleatória é uma função mensurável de um espaço de probabilidade, cujo contradomínio é o corpo dos números reais.
A variável aleatória é a função mensurável de um conjunto de resultados possíveis para um conjunto . A definição axiomática requer que seja um espaço mensurável . Isto é, é considerado junto com um sistema de subconjuntos de chamado σ-álgebra. Os elementos de são chamados conjuntos mensuráveis. É possível observar que em geral não é qualquer subconjunto de que é mensurável (ou seja, que pertence a ). A definição axiomática também requer que seja um espaço mensurável, em que a σ-álgebra de Borel é comumente usada como a σ-álgebra de subconjuntos de .
Em linguagem matemática Em português . A função de em será uma variável aleatória (ou uma função mensurável) se e somente se, para todo valor , o conjunto de elementos , tais que o valor de função nos elementos seja menor ou igual a , pertencer ao σ-álgebra .
Funções de distribuição de variáveis aleatórias Dada uma variável aleatória definida em um espaço de probabilidade , é possível fazer perguntas como o quão provável o valor de é igual a 2? É a mesma probabilidade do evento , que muitas vezes é escrita como ou . Tomando todas essas probabilidades de intervalos de resultados de uma variável aleatória real resulta na distribuição de probabilidade de . A distribuição de probabilidade não considera o espaço de probabilidade particular usado para definir e apenas considera a probabilidade de vários valores de . Tal distribuição de probabilidade sempre pode ser capturada por sua função de distribuição acumulada, às vezes usando a função densidade de probabilidade .
Em termos da teoria da medida, a variável aleatória empurra a medida em para a medida em . O espaço de probabilidade subjacente é um mecanismo técnico usado para garantir a existência de variáveis aleatórias, às vezes para construi-las e para definir noções como correlação e dependência ou independência com base em uma distribuição conjunta de duas ou mais variáveis aleatórias no mesmo espaço de probabilidade. Na prática, muitas vezes descarta-se completamente o espaço e põe-se apenas a medida em que atribui medida 1 para toda a linha real. Isto é, trabalha-se com distribuições de probabilidade em vez de variáveis aleatórias.
Classificação das variáveis aleatórias As variáveis aleatórias podem ser discretas, contínuas ou mistas.
DiscretasContínuasMistas Uma função , definida no espaço amostral e assumindo valores em um conjunto enumerável de pontos da reta, é dita uma variável aleatória discreta. Uma função , definida no espaço amostral e assumindo valores em um intervalo de números reais, é dita uma variável aleatória contínua.Uma função , cujo contradomínio x é não numerável, mas que contém um subconjunto (finito ou infinito numerável), em que cada um dos pontos tem probabilidade maior que zero é dita uma variável aleatória mista.
Variável aleatória discreta Uma variável aleatória discreta pode assumir valores que podem ser contados. Isto é, uma variável aleatória discreta é uma variável para a qual o conjunto é um conjunto finito ou infinito contável. Por exemplo, ou . É uma variável aleatória que assume valores finitos ou infinitos contáveis (a soma de muitos números positivos reais incontáveis sempre converge para o infinito).
O lançamento de um dado de seis lados é um exemplo de variável aleatória discreta finita. O dado fornece um valor inteiro em todos os lançamentos, de modo que não existe a possibilidade de ele cair de lado e fornecer um valor fracionário como 2,5555.
Já o número de carros que passam por um pedágio é um exemplo de variável aleatória discreta infinita. Passará uma infinidade de carros, porém nunca passará a metade de um carro por um pedágio (não haverá frações no número de carros que passarão por um pedágio). O resultado não é conhecido a princípio, mas é sempre descritível com facilidade.