thumb|direita|Uma fita de Möbius, mostrando-a sendo cortada ao meio: a fita cortada não está torcida porque a primeira cohomologia é um grupo: . Na matemática, especificamente na teoria da homologia e na topologia algébrica, a cohomologia é uma maneira de associar invariantes algébricos a um espaço topológico ou a outro objeto matemático que codificam suas propriedades de uma forma que muitas vezes é computável. A cohomologia está frequentemente relacionada a questões sobre se alguma propriedade local do espaço encontra obstruções ao ser estendida para uma propriedade global. Por exemplo, a fita de Möbius não é o espaço produto de um segmento de reta com um círculo (ou seja, um cilindro), mas, localmente, em qualquer segmento do círculo, ela se assemelha a um retângulo comum (produto de dois segmentos de reta) sem a torção global. A obstrução para tornar a estrutura de produto global está codificada na primeira cohomologia do círculo subjacente, que classifica as duas maneiras inequivalentes de uma reta torcer-se ao redor de um círculo (um número par de torções ou um número ímpar de torções). O fato de existirem apenas duas maneiras inequivalentes de torcer uma reta ao redor de um círculo é codificado no respectivo grupo de cohomologia , que pode ser computado como sendo isomórfico ao grupo , onde corresponde a um número par de torções, e a um número ímpar.
Em sua formulação abstrata geral, a cohomologia é uma sequência de grupos abelianos frequentemente definida a partir de um complexo de cocadeias. A cohomologia pode ser vista como um método de atribuir invariantes algébricos mais ricos a um espaço do que a homologia. Algumas versões da cohomologia surgem pela dualização da construção da homologia.
Desde o seu início na topologia, essa ideia tornou-se um método dominante na matemática da segunda metade do século XX. A partir da ideia inicial da homologia como um método de construir invariantes algébricos de espaços topológicos, o leque de aplicações das teorias de homologia e cohomologia espalhou-se por toda a geometria e a álgebra. A terminologia tende a ocultar o fato de que a cohomologia, uma teoria contravariante, é mais natural do que a homologia em muitas aplicações. Em um nível básico, isso tem a ver com funções e pullbacks em situações geométricas: dados os espaços e , e alguma função em , para qualquer aplicação , a composição com dá origem a uma função em . As teorias de cohomologia mais importantes possuem um produto, o produto cup, que lhes confere uma estrutura de anel. Devido a essa característica, a cohomologia é geralmente um invariante mais forte do que a homologia.
Visão geral A cohomologia é uma família de construções relacionadas que ocorrem em várias áreas da matemática. O padrão comum é que se dispõe de objetos chamados cocadeias, um operador de cobordo que mede a falha de uma cocadeia em satisfazer uma condição de compatibilidade, e classes de cohomologia obtidas pela identificação de cocadeias que diferem por uma contribuição trivial ou exata.
Exemplo Um exemplo simples é a cohomologia de de Rham do círculo. Consideram-se aqui funções suaves no círculo, que podem ser pensadas como funções periódicas , tais que para todo . (Aqui estamos parametrizando as funções pela medida em radianos ao redor do círculo unitário.) O diferencial de uma função é definido pela expressão . Os diferenciais de uma função periódica têm a propriedade de que sua integral ao longo de um período inteiro é zero: pelo teorema fundamental do cálculo, , porque é periódica sobre o círculo. Um diferencial é às vezes chamado de diferencial exato.
Outro tipo de diferencial também pode ser considerado, o qual não é necessariamente exato. Um exemplo é por si só. Este não possui uma integral de zero ao longo de um período inteiro. Pelo contrário, . Portanto, o diferencial é inexato. Qualquer forma diferencial , com adequadamente periódica, é um diferencial no círculo. Ela é inexata precisamente quando , e exata quando . De fato, no último caso podemos escrever , onde , sendo o ponto principal que é periódica (e, portanto, define uma função no círculo). Além disso, qualquer diferencial pode ser tornado exato subtraindo-se dele , onde .
O que demonstramos, portanto, é que, embora existam muitos diferenciais no círculo (exatos ou inexatos), o espaço quociente de diferenciais inexatos módulo diferenciais exatos é unidimensional, parametrizado pelo diferencial constante .
Aqui os cobordos são os diferenciais exatos e as cocadeias são todos os diferenciais. O quociente de cocadeias módulo cobordos é unidimensional. Ou seja, o primeiro grupo de cohomologia de de Rham do círculo é isomórfico aos números reais (como um grupo aditivo), .
O círculo, sendo unidimensional, possui este único grupo de cohomologia positivo. Seu único outro grupo de cohomologia, , consiste em funções cujo diferencial é zero, isto é, constantes. A cohomologia generaliza essa configuração básica para dimensões superiores e outras situações.
Cocadeias e cobordos A cohomologia é frequentemente expressa por um complexo de cocadeias
com . O -ésimo grupo de cohomologia é então
Elementos de são chamados de cociclos, elementos de são chamados de cobordos, e elementos do grupo quociente são chamados de classes de cohomologia. No caso do exemplo da cohomologia de de Rham do círculo, são todas as funções suaves periódicas, é o diferencial de uma função, são todos os diferenciais onde é suave e periódica, e todos os e superiores são zero.
Uma maneira informal de entender a cohomologia é que os cociclos são dados local ou formalmente consistentes, enquanto os cobordos são dados que surgem de uma escolha mais elementar. O grupo de cohomologia mede a parte dos dados consistentes que não pode ser removida dessa forma. Assim, no caso da cohomologia de de Rham do círculo, uma escolha mais elementar é uma função, os dados formalmente consistentes são uma 1-forma periódica que é sempre localmente o diferencial de alguma função, e a integral de uma 1-forma sobre todo o círculo é a parte que não pode ser absorvida no diferencial de uma função. Por essa razão, a cohomologia aparece frequentemente em questões sobre se dados locais podem ser colados globalmente, se uma construção pode ser levantada ou estendida, ou se dois objetos que parecem localmente equivalentes são globalmente diferentes. Essa interpretação é especialmente explícita na cohomologia de feixes, onde a cohomologia mede a falha de seções locais de um feixe em se colarem em seções globais.
Cohomologia singular A cohomologia singular é um invariante poderoso na topologia, associando um anel graduado-comutativo a qualquer espaço topológico. Cada aplicação contínua determina um homomorfismo de anéis do anel de cohomologia de para o de ; isso impõe restrições fortes sobre as possíveis aplicações de para . Ao contrário de invariantes mais sutis como os grupos de homotopia, o anel de cohomologia tende a ser computável na prática para espaços de interesse.
Para um espaço topológico , a definição de cohomologia singular começa com o complexo de cadeias singulares:Por definição, a homologia singular de é a homologia desse complexo de cadeias (o núcleo de um homomorfismo módulo a imagem do anterior). Mais detalhadamente, é o grupo abeliano livre sobre o conjunto de aplicações contínuas do -simplexo padrão em (chamadas de "-simplexos singulares em "), e é o -ésimo homomorfismo de bordo. Os grupos são zero para negativo.
Agora fixe um grupo abeliano , e substitua cada grupo pelo seu grupo dual (quando os coeficientes são tomados em um corpo, o grupo dual é o espaço vetorial dual de ), e pelo seu homomorfismo dual:
Isso tem o efeito de "inverter todas as setas" do complexo original, deixando um complexo de cocadeias:
Para um inteiro , o -ésimo grupo de cohomologia de com coeficientes em é definido como sendo e denotado por . O grupo é zero para negativo. Os elementos de são chamados de -cocadeias singulares com coeficientes em . (Equivalentemente, uma -cocadeia em pode ser identificada com uma função do conjunto de -simplexos singulares em para .) Elementos de e são chamados de cociclos e cobordos, respectivamente, enquanto elementos de são chamados de classes de cohomologia (porque são classes de equivalência de cociclos).
A seguir, o grupo de coeficientes às vezes não é escrito. É comum tomar como sendo um anel comutativo ; então os grupos de cohomologia são módulos sobre . Uma escolha padrão é o anel dos inteiros.
Algumas das propriedades formais da cohomologia são apenas variantes menores das propriedades da homologia: Uma aplicação contínua determina um homomorfismo de avanço (pushforward) na homologia e um homomorfismo de recuo (pullback) na cohomologia. Isso torna a cohomologia um functor contravariante de espaços topológicos para grupos abelianos (ou módulos sobre ). Duas aplicações homotópicas de a induzem o mesmo homomorfismo na cohomologia (assim como na homologia). A sequência de Mayer–Vietoris é uma ferramenta computacional importante na cohomologia, assim como na homologia. Note que o homomorfismo de bordo aumenta (em vez de diminuir) o grau na cohomologia. Isto é, se um espaço é a união de subconjuntos abertos e , então existe uma sequência exata longa:
Existem grupos de cohomologia relativa para qualquer subespaço de um espaço . Eles estão relacionados aos grupos de cohomologia usuais por uma sequência exata longa:
O teorema dos coeficientes universais descreve a cohomologia em termos da homologia, usando grupos Ext. A saber, existe uma sequência exata curta: Uma afirmação relacionada é que, para um corpo , é precisamente o espaço dual do espaço vetorial . Se é uma variedade topológica ou um complexo CW, então os grupos de cohomologia são zero para maior do que a dimensão de . Se é uma variedade compacta (possivelmente com bordo), ou um complexo CW com finitas células em cada dimensão, e é um anel comutativo noetheriano, então o -módulo é finitamente gerado para cada .
Por outro lado, a cohomologia tem uma estrutura crucial que a homologia não tem: para qualquer espaço topológico e anel comutativo , existe uma aplicação bilinear, chamada de produto cup:definida por uma fórmula explícita em cocadeias singulares. O produto de classes de cohomologia e é escrito como ou simplesmente como . Esse produto torna a soma direta um anel graduado, chamado de anel de cohomologia de . Ele é graduado-comutativo no sentido de que:
Para qualquer aplicação contínua , o recuo é um homomorfismo de -álgebras graduadas. Segue-se que, se dois espaços são homotopicamente equivalentes, então seus anéis de cohomologia são isomórficos.
Aqui estão algumas das interpretações geométricas do produto cup. A seguir, entende-se que as variedades não possuem bordo, a menos que declarado o contrário. Uma variedade fechada significa uma variedade compacta (sem bordo), enquanto uma subvariedade fechada de uma variedade significa uma subvariedade que é um subconjunto fechado de , não necessariamente compacta (embora seja automaticamente compacta se o for).
Seja uma variedade fechada orientada de dimensão . Então a dualidade de Poincaré fornece um isomorfismo . Como resultado, uma subvariedade fechada orientada de codimensão em determina uma classe de cohomologia em , chamada de . Nestes termos, o produto cup descreve a interseção de subvariedades. A saber, se e são subvariedades de codimensão e que se intersectam transversalmente, então: