No contexto da álgebra linear, uma subárea da matemática, uma matriz de Toeplitz ou matriz de diagonais constantes, chamada assim em homenagem a Otto Toeplitz, é uma matriz em que cada diagonal descendente da esquerda para a direita tem valor constante. Por exemplo, qualquer matriz 5×5 da seguinte forma é uma matriz de Toeplitz:
De modo geral, qualquer matriz n×n matrix A da forma
é uma matriz de Toeplitz. Se o elemento i,j da matriz A é denotado por Ai,j, tem-se:
Propriedades
Uma matriz de Toeplitz n\times n pode ser definida como uma matriz A onde , para constantes . O conjunto de matrizes de Toeplitz n\times n é um subespaço do espaço vetorial de matrizes n\times n (sob adição de matrizes e multiplicação por escalar).
Duas matrizes de Toeplitz podem ser somadas em tempo (armazenando apenas um valor de cada diagonal) e multiplicadas em tempo .
Matrizes de Toeplitz são persimétricas. Matrizes de Toeplitz simétricas são tanto centrossimétricas quanto bissimétricas.
As matrizes de Toeplitz também estão intimamente ligadas às séries de Fourier, porque o operador de multiplicação por um polinômio trigonométrico, comprimido em um espaço de dimensão finita, pode ser representado por tal matriz. Da mesma forma, pode-se representar a convolução linear como a multiplicação por uma matriz de Toeplitz.
Matrizes de Toeplitz são assintoticamente equivalentes a matrizes circulantes conforme a dimensão cresce, um resultado conhecido como teorema de Grenander–Szegő. Esta propriedade circulante assintótica é a razão pela qual a transformada discreta de Fourier diagonaliza aproximadamente matrizes de Toeplitz grandes, e fundamenta a eficácia da estimativa de densidade espectral baseada na DFT para processos estacionários.
As matrizes de Toeplitz comutam assintoticamente. Isso significa que elas se diagonalizam na mesma base quando a dimensão das linhas e colunas tende ao infinito.
Para matrizes de Toeplitz simétricas, existe a decomposição
onde é a parte triangular inferior de .
A inversa de uma matriz de Toeplitz simétrica não singular tem a representação
onde e são matrizes de Toeplitz triangulares inferiores e é uma matriz estritamente triangular inferior.
Ver também Matriz circulante Matriz diagonal Matriz tridiagonal
Notas
Referências
Ligações externas
Categoria:Álgebra linear Categoria:Matrizes