400px|miniatura|upright=1.2|Função teta de Jacobi original com e com nome .
400px|thumb|upright=1.2|Função teta de Jacobi com nomo :
Na matemática, as funções teta são funções especiais de várias variáveis complexas. Fundamentalmente, elas são uma família de funções contínuas que codificam o comportamento de sistemas periódicos multidimensionais discretos, como redes cristalinas ou pontos em um toro. Por serem suaves, elas permitem o estudo e a manipulação de sistemas combinatórios discretos usando as ferramentas da análise complexa.
Por essa razão, as funções teta têm aplicações úteis em tópicos como:
Teoria dos números ("De quantas maneiras um número pode ser escrito como uma soma de quadrados?") Física ("Como o calor flui em um anel toroidal?", "Como partículas quânticas se comportam quando arranjadas em uma rede?") Geometria ("Quais são as propriedades de forma das curvas elípticas?")
e outros, incluindo variedades abelianas, espaços de moduli, formas quadráticas e sólitons.
Funções teta em duas dimensões são funções de dois argumentos complexos. Em uma escolha de parâmetro, por exemplo, z codifica a posição em uma rede bidimensional, e τ ou q codifica a forma da rede. Em dimensões superiores, a forma da rede é ditada por uma matriz; em geral, as funções teta são parametrizadas por pontos em um domínio tubular dentro de um Grassmanniano lagrangiano complexo, ou seja, o semi-espaço superior de Siegel.
Exemplo básico Um exemplo de uma função teta é:
onde z e q são números complexos e |q| < 1 para que a soma convirja.
Esta função analítica pode ser usada para resolver um problema de combinatória: de quantas maneiras diferentes cada número inteiro n pode ser escrito como a soma de dois quadrados?
Quando z=0, esta função se torna
Esta é uma função geradora onde o coeficiente em representa quantas maneiras existem de escrever k como um quadrado perfeito — quando k=0, há apenas uma maneira. Quando k é qualquer outro quadrado perfeito, há duas maneiras: . Quando k não é um quadrado perfeito, há zero maneiras.
Se você elevar ao quadrado essa função geradora, obterá . Se você agrupar os termos pelo expoente, descobrirá que é uma função geradora onde o coeficiente em conta quantas maneiras existem de escrever k como a soma de quaisquer dois quadrados. Essa contagem inclui inteiros negativos e ordem, de modo que (3,4), (4,3) e (-3,4) contam cada um como maneiras separadas de fazer 32 + 42 = 25.
Aplicação em funções elípticas A forma mais comum da função teta é aquela que ocorre na teoria das funções elípticas. Com relação a uma das variáveis complexas (convencionalmente chamada de ), uma função teta tem uma propriedade que expressa seu comportamento com relação à adição de um período das funções elípticas associadas, tornando-a uma função quase-periódica. Na teoria abstrata, essa quase-periodicidade vem da classe de cohomologia de um fibrado de linhas num toro complexo, uma condição de descida.
Uma interpretação das funções teta ao lidar com a equação do calor é que "uma função teta é uma função especial que descreve a evolução da temperatura em um domínio de segmento sujeito a certas condições de contorno".
Ao longo deste artigo, deve ser interpretado como (a fim de resolver questões de escolha de ramo).Veja p. ex. https://dlmf.nist.gov/20.1. Note que isto, em geral, não é equivalente à interpretação usual quando está fora da faixa . Aqui, denota o ramo principal do logaritmo complexo.
Função teta de Jacobi
Existem várias funções intimamente relacionadas chamadas funções teta de Jacobi, e muitos sistemas de notação diferentes e incompatíveis para elas. Uma função teta de Jacobi (em homenagem a Carl Gustav Jakob Jacobi) é uma função definida para duas variáveis complexas e , onde pode ser qualquer número complexo e é a razão de semiperíodo, confinada ao semiplano superior, o que significa que tem uma parte imaginária positiva. É dada pela fórmula
onde é o nomo e . É uma forma de Jacobi. A restrição garante que seja uma série absolutamente convergente. Em fixo, esta é uma série de Fourier para uma função inteira 1-periódica de . Da mesma forma, a função teta é 1-periódica em :
Ao completar o quadrado, ela também é -quase-periódica em , com
Assim, em geral,
para quaisquer inteiros e .
Para qualquer fixo, a função é uma função inteira no plano complexo, então pelo teorema de Liouville, ela não pode ser duplamente periódica em a menos que seja constante, e então o melhor que podemos fazer é torná-la periódica em e quase-periódica em . De fato, como e , a função é ilimitada, como exigido pelo teorema de Liouville.
Ela é de fato a função inteira mais geral com 2 quase-períodos, no seguinte sentido:
Teorema: Se é inteira e não constante, e satisfaz as equações funcionais
para algumas constantes .
Se , então e . Se , então para algum não nulo.
500px|thumb|center|Função teta com nomos diferentes. O ponto preto na imagem à direita indica como muda com 500px|thumb|center|Função teta com nomos diferentes. O ponto preto na imagem à direita indica como muda com
Funções auxiliares
A função teta de Jacobi definida acima é por vezes considerada juntamente com três funções teta auxiliares, caso em que é escrita com um subscrito duplo 0:
As funções auxiliares (ou de semiperíodo) são definidas por
Esta notação segue Riemann e Mumford; a formulação original de Jacobi foi em termos do nomo ao invés de . Na notação de Jacobi as funções são escritas:
thumb|Teta de Jacobi 1
thumb|Teta de Jacobi 2
thumb|Teta de Jacobi 3
thumb|Teta de Jacobi 4
As definições acima das funções teta de Jacobi não são de forma alguma únicas. Veja Funções teta de Jacobi (variações notacionais) para uma discussão mais aprofundada.
Se definirmos nas funções teta acima, obteremos quatro funções apenas de , definidas no semiplano superior. Estas funções são chamadas de funções Theta Nullwert, com base no termo alemão para valor zero devido à anulação da entrada à esquerda na expressão da função teta. Alternativamente, obtemos quatro funções apenas de , definidas no disco unitário . Elas são algumas vezes chamadas de constantes teta: para todo com .
com o nomo . Observe que . Estas podem ser usadas para definir uma variedade de formas modulares e para parametrizar certas curvas; em particular, a identidade de Jacobi é
ou equivalentemente,
que é a curva de Fermat de grau quatro.
Identidades de Jacobi As identidades de Jacobi descrevem como as funções teta se transformam sob o grupo modular, que é gerado por e . Equações para a primeira transformação são facilmente encontradas, uma vez que adicionar um a no expoente tem o mesmo efeito que adicionar a (). Para a segunda, seja
Então
Funções teta em termos do nomo Em vez de expressar as funções Teta em termos de e , podemos expressá-las em termos dos argumentos e o nomo , onde e . Nesta forma, as funções tornam-se
Vemos que as funções teta também podem ser definidas em termos de e , sem uma referência direta à função exponencial. Essas fórmulas podem, portanto, ser usadas para definir as funções Teta sobre outros corpos onde a função exponencial pode não ser definida em toda parte, como corpos de números -ádicos.
Representações de produtos O produto triplo de Jacobi (um caso especial das identidades de Macdonald) nos diz que para os números complexos e com e nós temos
Pode ser provado por meios elementares, como por exemplo no livro An Introduction to the Theory of Numbers de Hardy e Wright.
Se expressarmos a função teta em termos do nomo (notando que alguns autores em vez disso definem ) e tomarmos , então
Nós, portanto, obtemos uma fórmula de produto para a função teta na forma
Em termos de e :
onde é o símbolo -Pochhammer e é a função q-teta. Expandindo os termos, o produto triplo de Jacobi também pode ser escrito como
que também podemos escrever como
Esta forma é válida em geral, mas é claramente de particular interesse quando é real. Fórmulas de produtos semelhantes para as funções teta auxiliares são
Em particular, assim, podemos interpretá-las como deformações de um parâmetro das funções periódicas , validando novamente a interpretação da função teta como a função mais geral de 2 quase-períodos.
Representações integrais As funções teta de Jacobi têm as seguintes representações integrais:
A função Theta Nullwert tem a seguinte identidade integral:
Esta fórmula foi discutida no ensaio Square series generating function transformations pelo matemático Maxie Schmidt da Geórgia, em Atlanta.
Com base nesta fórmula, os seguintes três exemplos eminentes são dados:
Além disso, os exemplos da função teta e devem ser exibidos:
Valores explícitos Valores lemniscáticos
O devido crédito pela maioria desses resultados pertence a Ramanujan. Veja Caderno perdido de Ramanujan e uma referência relevante em Função de Euler. Os resultados de Ramanujan citados em Função de Euler somados a algumas operações elementares geram os resultados abaixo, de modo que eles estão no caderno perdido de Ramanujan ou decorrem imediatamente dele. Veja também Yi (2004). Defina,
com o nomo e a função eta de Dedekind Então, para
Se o recíproco da constante de Gelfond for elevado à potência do recíproco de um número ímpar, então os valores correspondentes de ou de podem ser representados de forma simplificada usando o seno lemniscático hiperbólico:
A letra representa a constante da lemniscata.
Note que as seguintes identidades modulares são válidas:
onde é a fração contínua de Rogers-Ramanujan:
Valores equianarmônicos O matemático Bruce Berndt encontrou valores adicionais da função teta:
Teoremas de potência do nomo
Teoremas diretos de potência
Para a transformação do nomoAndreas Dieckmann: Table of Infinite Products Infinite Sums Infinite Series, Elliptic Theta. Physikalisches Institut Universität Bonn, Acessado em 1º de outubro de 2021. nas funções teta, estas fórmulas podem ser usadas:
Os quadrados das três funções teta com valor nulo, com a função quadrática como função interna, também são formados no padrão das trincas pitagóricas de acordo com a identidade de Jacobi. Além disso, as seguintes transformações são válidas:
Estas fórmulas podem ser usadas para computar os valores teta do cubo do nomo:
E as seguintes fórmulas podem ser usadas para computar os valores teta da quinta potência do nomo:
Transformação na raiz cúbica do nomo As fórmulas para os valores da função teta *Nullwert* a partir da raiz cúbica do nomo elíptico são obtidas contrapondo as duas soluções reais das equações quárticas correspondentes:
Transformação na raiz quinta do nomo A fração contínua de Rogers-Ramanujan pode ser definida em termos da função teta de Jacobi da seguinte maneira:
A função de fração contínua alternada de Rogers-Ramanujan S(q) tem as seguintes duas identidades:
Os valores da função teta da quinta raiz do nomo podem ser representados como uma combinação racional das frações contínuas R e S e dos valores da função teta da quinta potência do nomo e do próprio nomo. As quatro equações a seguir são válidas para todos os valores de q entre 0 e 1:
Teoremas dependentes de módulo
Em combinação com o módulo elíptico, as seguintes fórmulas podem ser exibidas:
Estas são as fórmulas para o quadrado do nomo elíptico:
E esta é uma fórmula eficiente para o cubo do nomo:
Para todos os valores reais a fórmula agora mencionada é válida.
E para esta fórmula, dois exemplos serão dados:
Primeiro exemplo de cálculo com o valor inserido:
{| class="wikitable"
Segundo exemplo de cálculo com o valor inserido:
{| class="wikitable"
A constante representa o número da proporção áurea exatamente.
Algumas identidades de séries
Somas com função teta no resultado
A soma infinitaLandau (1899)citado por Borwein, Página 94, Exercício 3. dos recíprocos dos números de Fibonacci com índices ímpares tem a identidade:
Ao não usar a expressão da função teta, a seguinte identidade entre duas somas pode ser formulada: