miniaturadaimagem|321x321px|Raio de curvatura e centro de curvatura Na geometria diferencial, o raio de curvatura, , é o recíproco da curvatura . Para uma curva, é igual ao raio do arco circular que melhor se aproxima da curva naquele ponto. Para superfícies, o raio de curvatura é o raio de um círculo que melhor se ajusta a uma seção normal ou a suas combinações.
Definição O raio de curvatura é uma magnitude que mede a curvatura de um objeto geométrico tal como uma linha curva, uma superfície ou mais genericamente uma variedade diferenciável imersa em um espaço euclidiano.
O raio de curvatura é matematicamente descrito por
onde é a curvatura de uma determinada função.
Se a curva é dada em coordenadas cartesianas como , e diferenciável pelo menos duas vezes, então o raio de curvatura é dado porhttp://mathworld.wolfram.com/RadiusofCurvature.html
onde e Caso a curva seja definida em equações paramétricas como e , então o raio de curvatura é dado por
onde e , e também e
Em notação vetorial, pode-se interpretar a definição acima como
onde é uma função vetorial definida por funções escalares de parâmetro nas direções dos eixos de um sistema de coordenadas retangulares.
Fórmula Se é uma curva parametrizada em então o raio de curvatura em cada ponto da curva, , é dado por Como um caso especial, se é uma função de a , então o raio de curvatura de seu gráfico, , é: Derivação
Seja como acima, e corrija . Queremos encontrar o raio de um círculo parametrizado que corresponda a em suas derivadas zero, primeira e segunda em . Claramente, o raio não dependerá da posição , apenas da velocidade e da aceleração . Existem apenas três escalares independentes que podem ser obtidos a partir de dois vetores e , a saber , e . Assim o raio de curvatura deve ser a função de três escalares ||2, | |2 e .
A equação geral para um círculo parametrizado em is éonde é o centro do círculo (irrelevante, pois desaparece nas derivadas), são vetores perpendiculares de comprimento (ou seja, 2 e ) é uma função arbitrária que é duas vezes diferencial em .
Os derivados relevantes de calculam-se como
Se agora igualarmos essas derivadas de às derivadas correspondentes de at , obtemos
Essas três equações em três incógnitas ( , e ) podem ser resolvidas para , fornecendo a fórmula para o raio de curvatura:
ou, omitindo o parâmetro para facilitar a leitura,
Exemplos miniaturadaimagem|Uma elipse (vermelha) e sua evolução (azul). Os pontos são os vértices da elipse, nos pontos de maior e menor curvatura.
Semicírculos e círculos
Para um semicírculo de raio no semiplano inferior O círculo de raio tem um raio de curvatura igual a .
Elipses Em uma elipse com o eixo maior e o eixo menor , os vértices no eixo principal têm o menor raio de curvatura de qualquer ponto, ; e os vértices no eixo menor têm o maior raio de curvatura de qualquer ponto, .
Aplicações Geometria diferencial , consulte equação de Cesàro. Raio de curvatura da terra (aproximado por um elipsóide oblato), consulte Raio de curvatura da terra. Equações de flexão de vigas. Lentes e espelhos esféricos.
Estresse em estruturas semicondutores O estresse na estrutura do semicondutor envolvendo filmes finos evaporados geralmente resulta da expansão térmica (estresse térmico) durante o processo de fabricação. O estresse térmico ocorre porque as deposições dos filmes geralmente são feitas acima da temperatura ambiente.Após o resfriamento da temperatura de deposição para a temperatura ambiente, a diferença nos coeficientes de expansão térmica do substrato e do filme causa estresse térmico.
O estresse intrínseco resulta da microestrutura criada no filme à medida que os átomos são depositados no substrato. O estresse elástico resulta dos micro vazios no filme fino, devido à interação atraente dos átomos através dos vazios.O estresse nas estruturas de semicondutores de película fina resulta na flambagem das bolachas. O raio da curvatura da estrutura tensionada está relacionado ao tensor de tensão na estrutura e pode ser descrito pela fórmula de Stoney modificada. A topografia da estrutura tensionada, incluindo raios de curvatura, pode ser medida usando métodos de scanner óptico. As modernas ferramentas de scanner têm a capacidade de medir a topografia completa do substrato e medir os dois principais raios de curvatura, fornecendo a precisão da ordem de 0,1% para raios de curvatura de 90 metros ou mais.
Ver também Dioptria Curvatura Torção de uma curva Triedro de Frenet Curva
Leitura adicional
Ligações externas
The Geometry Center: Principal Curvatures 15.3 Curvature and Radius of Curvature
Categoria:Geometria diferencial