Na relatividade restrita, o quadrimomento (também chamado de momento-energia) é a generalização do momento tridimensional clássico para o espaço-tempo quadridimensional. O momento linear é um vetor em três dimensões; de forma semelhante, o quadrimomento é um quadrivetor no espaço-tempo. O quadrimomento contravariante de uma partícula com energia relativística e tri-momento , onde é a tri-velocidade da partícula e é o fator de Lorentz, é
A quantidade acima é o momento não relativístico comum da partícula e sua massa de repouso. O quadrimomento é útil em cálculos relativísticos porque é um vetor covariante de Lorentz. Isso significa que é fácil acompanhar como ele se transforma sob transformações de Lorentz.
Norma de Minkowski
Calcular o quadrado da norma de Minkowski do quadrimomento fornece uma quantidade invariante de Lorentz igual (a menos de fatores da velocidade da luz ) ao quadrado da massa própria da partícula:
onde os seguintes denotam:
, o vetor quadrimomento de uma partícula,
, o produto interno de Minkowski do quadrimomento consigo mesmo,
e , as componentes contravariantes do vetor quadrimomento,
, a forma covariante,
, a energia da partícula,
, a velocidade da luz,
, a magnitude do vetor momento tridimensional,
, a massa invariante (de repouso) da partícula,
e é o tensor métrico da relatividade restrita com a assinatura métrica escolhida, por definição, como . A negatividade da norma reflete que o momento é um quadrivetor do tipo tempo (timelike) para partículas com massa. A outra escolha de assinatura inverteria os sinais em certas fórmulas (como para a norma aqui). Esta escolha não é importante, mas, uma vez feita, deve ser mantida por uma questão de consistência em todo o texto.
A norma de Minkowski é invariante de Lorentz, o que significa que o seu valor não é alterado por transformações de Lorentz/impulsos (boosts) para diferentes referenciais. Mais geralmente, para quaisquer dois quadrimomentos e , a quantidade é invariante.
Relação com a quadrivelocidade
Para uma partícula com massa, o quadrimomento é dado pela massa invariante da partícula multiplicada pela quadrivelocidade da partícula,
onde a quadrivelocidade éeé o fator de Lorentz (associado à velocidade ), e é a velocidade da luz.
Derivação Existem várias maneiras de chegar à expressão correta para o quadrimomento. Uma maneira é definir primeiro a quadrivelocidade e simplesmente definir , contentando-se com o fato de ser um quadrivetor com as unidades corretas e o comportamento correto. Uma outra abordagem, mais satisfatória, é começar com o princípio da menor ação e usar a formulação lagrangiana para derivar o quadrimomento, incluindo a expressão para a energia. Pode-se imediatamente, usando as observações detalhadas abaixo, definir o quadrimomento a partir da ação . Dado que, em geral, para um sistema fechado com coordenadas generalizadas e momentos canônicos ,é imediato (lembrando que , , , e , , , na presente convenção métrica) que é um quadrivetor covariante cuja parte tridimensional (tri-vetor) é o momento canônico.
Considere inicialmente um sistema com um grau de liberdade . Na derivação das equações de movimento a partir da ação usando o princípio de Hamilton, encontra-se (geralmente) numa fase intermediária para a variação da ação,
A suposição então é de que os caminhos variados satisfazem , de onde as equações de Lagrange seguem imediatamente. Quando as equações de movimento são conhecidas (ou simplesmente se assume que são satisfeitas), pode-se abrir mão do requisito . Neste caso, assume-se que o caminho satisfaz as equações de movimento, e a ação é uma função do limite superior de integração , mas continua fixo. A equação acima se torna, com , e definindo , e permitindo mais graus de liberdade,
Observando que
conclui-se que
De forma semelhante, mantendo as extremidades fixas, mas permitindo que varie. Desta vez, o sistema pode se mover através do espaço de configuração a "velocidade arbitrária" ou com "mais ou menos energia", com as equações de campo ainda consideradas válidas, e a variação pode ser realizada na integral; em vez disso, observe-se
pelo teorema fundamental do cálculo. Computando usando a expressão acima para os momentos canônicos,
Agora, utilizando
onde é o Hamiltoniano, chega-se a, dado que no caso presente,
Aliás, utilizar com na equação acima resulta nas equações de Hamilton-Jacobi. Neste contexto, é chamada de Função principal de Hamilton.
A ação é dada por
onde é o Lagrangiano relativístico para uma partícula livre. A partir disso,
A variação da ação é
Para calcular , observe primeiro que e que
Portanto
ou
e, assim,
o que é apenas
onde o segundo passo emprega as equações de campo , , e como nas observações acima. Agora, compare as três últimas expressões para encontrar
com norma , e o famoso resultado para a energia relativística,
onde é a agora ultrapassada massa relativística. Comparando diretamente as expressões de momento e energia, tem-se
que é válida também para partículas sem massa. Elevando ao quadrado as expressões para a energia e o tri-momento e relacionando-as, obtém-se a relação energia-momento,
Substituindo
na equação para a norma, obtém-se a equação relativística de Hamilton-Jacobi,
Também é possível derivar os resultados diretamente do Lagrangiano. Por definição,
que constituem as fórmulas padrão para o momento canônico e a energia de um sistema fechado (Lagrangiano independente do tempo). Com essa abordagem, fica menos claro que a energia e o momento fazem parte de um quadrivetor.
A energia e o tri-momento são grandezas conservadas separadamente para sistemas isolados no contexto lagrangiano. Por consequência, o quadrimomento também é conservado. Mais sobre isso abaixo.
Abordagens mais elementares incluem o comportamento esperado na eletrodinâmica. Nesta abordagem, o ponto de partida é a aplicação da lei da força de Lorentz e da segunda lei de Newton no referencial de repouso da partícula. As propriedades de transformação do tensor do campo eletromagnético, incluindo a invariância da carga elétrica, são então usadas para transformar para o referencial do laboratório, e a expressão resultante (novamente a lei da força de Lorentz) é interpretada no espírito da segunda lei de Newton, levando à expressão correta para o tri-momento relativístico. A desvantagem, evidentemente, é que não fica imediatamente claro que o resultado se aplica a todas as partículas, carregadas ou não, e que não produz o quadrivetor completo.
Também é possível evitar o eletromagnetismo e usar experimentos mentais bem ajustados envolvendo físicos bem treinados arremessando bolas de bilhar, utilizando o conhecimento da fórmula de adição de velocidades e assumindo a conservação do momento. Wikisource version Isso também fornece apenas a parte do vetor tridimensional.
Conservação do quadrimomento Como mostrado acima, existem três leis de conservação (não independentes, as duas últimas implicam a primeira e vice-versa): O quadrimomento (seja covariante ou contravariante) é conservado. A energia total é conservada. O momento linear no espaço 3D é conservado (não confundir com o momento não relativístico clássico ).
Note que a massa invariante de um sistema de partículas pode ser maior do que a soma das massas de repouso das partículas, uma vez que a energia cinética no referencial do centro de massa do sistema e a energia potencial proveniente das forças entre as partículas contribuem para a massa invariante. Como exemplo, duas partículas com quadrimomentos e possuem cada uma (em repouso) a massa de 3 GeV/c2 separadamente, mas sua massa total (a massa do sistema) é de 10 GeV/c2. Se essas partículas colidissem e se juntassem, a massa do objeto composto seria 10 GeV/c2.
Uma aplicação prática na física de partículas da conservação da massa invariante envolve a combinação dos quadrimomentos e de duas partículas "filhas" produzidas no decaimento de uma partícula mais pesada com quadrimomento para encontrar a massa da partícula mais pesada. A conservação do quadrimomento nos dá , enquanto a massa da partícula mais pesada é dada por . Medindo as energias e os tri-momentos das partículas filhas, pode-se reconstruir a massa invariante do sistema de duas partículas, que deve ser igual a . Esta técnica é utilizada, por exemplo, em buscas experimentais por bósons Z′ em colisores de partículas de alta energia, onde o bóson Z′ apareceria como uma protuberância (pico) no espectro de massa invariante de pares elétron–pósitron ou múon–antimúon.
Se a massa de um objeto não se altera, o produto interno de Minkowski de seu quadrimomento com a quadriaceleração correspondente é simplesmente zero. A quadriaceleração é proporcional à derivada em relação ao tempo próprio do quadrimomento dividida pela massa da partícula, portanto
Momento canônico na presença de um potencial eletromagnético Para uma partícula carregada com carga , movendo-se em um campo eletromagnético dado pelo quadripotencial eletromagnético: onde ϕ é o potencial escalar e o potencial vetorial, as componentes do quadrivetor do momento canônico (não invariante de calibre) são
Isso, por sua vez, permite que a energia potencial da partícula carregada num potencial eletrostático e a força de Lorentz sobre a partícula carregada movendo-se num campo magnético sejam incorporadas de maneira compacta na mecânica quântica relativística.
Quadrimomento no espaço-tempo curvo No caso em que existe um sistema físico em movimento com uma distribuição contínua de matéria num espaço-tempo curvo, a expressão primária para o quadrimomento é um quadrivetor com índice covariante:
O quadrimomento é expresso através da energia do sistema físico e do momento relativístico . Ao mesmo tempo, o quadrimomento pode ser representado como a soma de dois quadrivetores não locais do tipo integral:
O quadrivetor é o quadrimomento generalizado associado à ação de campos sobre partículas; o quadrivetor é o quadrimomento dos campos que surgem da ação das partículas sobre os campos.
A energia e o momento , bem como as componentes dos quadrivetores e podem ser calculadas se a densidade Lagrangiana do sistema for fornecida. As seguintes fórmulas são obtidas para a energia e o momento do sistema:
Aqui é a parte da densidade Lagrangiana que contém termos com quadricorrentes; é a velocidade das partículas de matéria; é a componente temporal da quadrivelocidade das partículas; é o determinante do tensor métrico; é a parte do Lagrangiano associada à densidade Lagrangiana ; e é a velocidade de uma partícula de matéria com o número .
Ver também
Quadriforça Quadrigradiente Pseudovetor de Pauli-Lubanski
Bibliografia
Wikisource version
Categoria:Quadrivetores Categoria:Momento