thumb|200px|direita|Algumas trajetórias de uma partícula em uma caixa de acordo com as Leis de Newton da mecânica clássica (A), e de acordo com a equação de Schrödinger da mecânica quântica (B–F). Em (B–F), o eixo horizontal é a posição, e o eixo vertical é a parte real (azul) e a parte imaginária (vermelha) da função de onda. Os estados (B, C, D) são autoestados de energia, mas (E, F) não são.

Na mecânica quântica, o modelo da partícula numa caixa (também conhecido como poço de potencial infinito ou poço quadrado infinito) descreve o movimento de uma partícula livre em um espaço pequeno cercado por barreiras impenetráveis. O modelo é usado principalmente como um exemplo hipotético para ilustrar as diferenças entre os sistemas clássicos e quânticos. Em sistemas clássicos, por exemplo, uma partícula presa dentro de uma grande caixa pode se mover a qualquer velocidade dentro da caixa e não é mais provável que seja encontrada em uma posição do que em outra. No entanto, quando o poço se torna muito estreito (na escala de alguns nanômetros), os efeitos quânticos tornam-se importantes. A partícula só pode ocupar certos níveis de energia positivos. Da mesma forma, ela nunca pode ter energia zero, o que significa que a partícula nunca pode "ficar parada". Além disso, é mais provável que seja encontrada em certas posições do que em outras, dependendo do seu nível de energia. A partícula pode nunca ser detectada em certas posições, conhecidas como nós espaciais.

O modelo da partícula numa caixa é um dos pouquíssimos problemas da mecânica quântica que pode ser resolvido analiticamente, sem aproximações. Devido à sua simplicidade, o modelo permite uma visão dos efeitos quânticos sem a necessidade de matemática complicada. Ele serve como uma ilustração simples de como surgem as quantizações de energia (níveis de energia), que são encontradas em sistemas quânticos mais complicados, como átomos e moléculas. É um dos primeiros problemas de mecânica quântica ensinados em cursos de graduação em física e é comumente usado como uma aproximação para sistemas quânticos mais complexos.

Solução unidimensional thumb|direita|As barreiras fora de uma caixa unidimensional têm potencial infinitamente grande, enquanto o interior da caixa tem um potencial constante e nulo. Mostra-se o poço deslocado, com

A forma mais simples do modelo da partícula numa caixa considera um sistema unidimensional. Aqui, a partícula só pode se mover para frente e para trás ao longo de uma linha reta com barreiras impenetráveis em ambas as extremidades.Davies, p. 4 As paredes de uma caixa unidimensional podem ser vistas como regiões do espaço com uma energia potencial infinitamente grande. Por outro lado, o interior da caixa tem uma energia potencial constante e nula.Na verdade, qualquer potencial constante e finito pode ser especificado dentro da caixa. Isso meramente desloca as energias dos estados por . Isso significa que nenhuma força atua sobre a partícula dentro da caixa e ela pode se mover livremente nessa região. No entanto, forças infinitamente grandes repelem a partícula se ela tocar as paredes da caixa, impedindo-a de escapar. A energia potencial neste modelo é dada por

onde L é o comprimento da caixa, xc é a localização do centro da caixa e x é a posição da partícula dentro da caixa. Casos simples incluem a caixa centrada (xc = 0) e a caixa deslocada (xc = L/2) (na imagem).

Função de onda de posição

Na mecânica quântica, a função de onda fornece a descrição mais fundamental do comportamento de uma partícula; as propriedades mensuráveis da partícula (como sua posição, momento e energia) podem ser todas derivadas da função de onda.Davies, p. 1 A função de onda pode ser encontrada resolvendo a equação de Schrödinger para o sistema

onde é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula, é a unidade imaginária e é o tempo.

Dentro da caixa, nenhuma força atua sobre a partícula, o que significa que a parte da função de onda dentro da caixa oscila através do espaço e do tempo com a mesma forma que uma partícula livre:Bransden e Joachain, p. 157 onde e são números complexos arbitrários. A frequência das oscilações através do espaço e do tempo é dada pelo número de onda e pela frequência angular , respectivamente. Ambas estão relacionadas com a energia total da partícula pela expressão

que é conhecida como a relação de dispersão para uma partícula livre. No entanto, como a partícula não é totalmente livre, mas está sob a influência de um potencial, a energia da partícula é

onde T é a energia cinética e V a energia potencial. Portanto, a energia da partícula dada acima não é a mesma coisa que (isto é, o momento da partícula não é dado por ). Assim, o número de onda k acima descreve na verdade os estados de energia da partícula e não está relacionado ao momento como o "número de onda" geralmente está. A justificativa para chamar k de número de onda é que ele enumera o número de cristas que a função de onda tem dentro da caixa e, neste sentido, é um número de onda. Essa discrepância pode ser vista mais claramente abaixo, quando descobrirmos que o espectro de energia da partícula é discreto (apenas valores discretos de energia são permitidos), mas o espectro de momento é contínuo (o momento pode variar continuamente), ou seja, .

thumb|direita|upright|Funções de onda iniciais para os primeiros quatro estados em uma partícula numa caixa unidimensional A amplitude da função de onda em uma dada posição está relacionada à probabilidade de encontrar uma partícula lá por . A função de onda deve, portanto, desaparecer em todos os lugares além das bordas da caixa. Além disso, a amplitude da função de onda não pode "saltar" abruptamente de um ponto para o outro. Essas duas condições são satisfeitas apenas por funções de onda com a forma

onde

e

para inteiros positivos . As soluções mais simples, ou ambas produzem a função de onda trivial , que descreve uma partícula que não existe em lugar nenhum no sistema.Bransden e Joachain, p. 158 Aqui se vê que apenas um conjunto discreto de valores de energia e números de onda k são permitidos para a partícula. Usualmente na mecânica quântica também se exige que a derivada da função de onda, além da própria função de onda, seja contínua; aqui essa exigência levaria a que a única solução fosse a função constante zero, que não é o que desejamos, então abrimos mão dessa exigência (como este sistema com potencial infinito pode ser considerado um caso limite abstrato não físico, podemos tratá-lo como tal e "burlar as regras"). Note que abrir mão dessa exigência significa que a função de onda não é uma função diferenciável na fronteira da caixa, e assim pode-se dizer que a função de onda não resolve a equação de Schrödinger nos pontos de contorno e (mas a resolve em todos os outros lugares).

Finalmente, a constante desconhecida pode ser encontrada normalizando a função de onda. Ou seja, segue deque qualquer número complexo cujo valor absoluto seja produz o mesmo estado normalizado.

Espera-se que os autovalores, ou seja, a energia da caixa devem ser os mesmos independentemente de sua posição no espaço, mas muda. Note que representa uma mudança de fase na função de onda. Esta mudança de fase não tem efeito ao resolver a equação de Schrödinger e, portanto, não afeta o autovalor.

Se definirmos a origem das coordenadas para o centro da caixa, podemos reescrever a parte espacial da função de onda sucintamente como:

Função de onda de momento

A função de onda de momento é proporcional à transformada de Fourier da função de onda de posição. Com (note que o parâmetro descrevendo a função de onda de momento abaixo não é exatamente o especial acima, ligado aos autovalores de energia), a função de onda de momento é dada poronde sinc é o seno cardinal ou função sinc, . Para a caixa centrada (), a solução é real e particularmente simples, uma vez que o fator de fase à direita se reduz à unidade. (Com cuidado, pode ser escrito como uma função par de .)

Pode-se ver que o espectro de momento neste pacote de ondas é contínuo, e pode-se concluir que para o estado de energia descrito pelo número de onda , o momento pode, quando medido, também atingir outros valores além de .

Consequentemente, também parece que, uma vez que a energia é para o n-ésimo autoestado, a relação não se mantém estritamente para o momento medido ; o autoestado de energia não é um autoestado de momento e, de fato, nem mesmo uma superposição de dois autoestados de momento, como se poderia ser tentado a imaginar da equação (1) acima: peculiarmente, ela não tem momento bem definido antes da medição!

Distribuições de probabilidade de posição e momento

Na física clássica, a partícula pode ser detectada em qualquer lugar na caixa com igual probabilidade. Na mecânica quântica, no entanto, a densidade de probabilidade para encontrar uma partícula em uma dada posição é derivada da função de onda como Para a partícula numa caixa, a densidade de probabilidade para encontrar a partícula em uma dada posição depende de seu estado e é dada por

Assim, para qualquer valor de n maior que um, existem regiões dentro da caixa para as quais , indicando que existem nós espaciais nos quais a partícula não pode ser encontrada. Se equações de onda relativísticas forem consideradas, no entanto, a densidade de probabilidade não vai para zero nos nós (exceto para o caso trivial ).

Na mecânica quântica, a média, ou valor esperado da posição de uma partícula é dada por

Para a partícula em estado estacionário numa caixa, pode ser mostrado que a posição média é sempre , independentemente do estado da partícula. Para uma superposição de estados, o valor esperado da posição mudará com base no termo cruzado, que é proporcional a .

A variância na posição é uma medida da incerteza na posição da partícula:

A densidade de probabilidade para encontrar uma partícula com um dado momento é derivada da função de onda como . Assim como na posição, a densidade de probabilidade para encontrar a partícula a um dado momento depende do seu estado e é dada poronde, novamente, . O valor esperado para o momento é então calculado para ser zero, e a variância no momento é calculada para ser:

As incertezas na posição e no momento ( e ) são definidas como sendo iguais à raiz quadrada de suas respectivas variâncias, de modo que:

Este produto aumenta com o aumento de n, tendo um mínimo para n = 1. O valor deste produto para n = 1 é aproximadamente igual a 0,568 , o que obedece ao Princípio da incerteza de Heisenberg, que afirma que o produto será maior ou igual a .

Outra medida de incerteza na posição é a entropia de informação da distribuição de probabilidade Hx:onde x0 é um comprimento de referência arbitrário.

Outra medida de incerteza no momento é a entropia de informação da distribuição de probabilidade Hp:onde γ é a constante de Euler. O princípio da incerteza entrópica quântica afirma que para (nats)

Para , a soma das entropias de posição e momento produz:onde a unidade é nat, e que satisfaz o princípio da incerteza entrópica quântica.

Níveis de energia thumb|upright|A energia de uma partícula numa caixa (círculos pretos) e a de uma partícula livre (linha cinza) dependem do número de onda da mesma forma. No entanto, a partícula numa caixa só pode ter certos níveis de energia discretos.