miniatura|direita|A função exponencial natural pode ser definida como o limite de , quando tende ao infinito, e assim é o limite de . Nesta animação assume vários valores crescentes de 1 a 100. O cálculo de é mostrado como efeito combinado de multiplicações repetidas no plano complexo, com o ponto final sendo o valor de . Pode ser visto que quando cresce aproxima o limite −1. Em matemática, a identidade de Euler é representada pela equação
.
Segundo Richard Feynman seria a identidade mais bela de toda a matemática. A equação aparece na obra de Leonhard Euler Introdução, publicada em Lausanne em 1748. Nesta equação, e é a base do logaritmo natural, é a unidade imaginária (número imaginário com a propriedade i² = -1), e é a constante de Arquimedes pi (π, a razão entre o perímetro e o diâmetro de qualquer circunferência).
A beleza da equação é que ela relaciona cinco números fundamentais da matemática: e, pi, i, 0 e 1; e as operações base da matemática: adição, multiplicação e exponenciação.
Demonstração da Identidade de Euler A série de Taylor, de forma geral, é enunciada como,
.
Quando aplicamos a série para a função exponencial, nós encontramos que,
para a série centrada no ponto ,
.
Esta função exponencial complexa tem as mesmas propriedades que a função exponencial real. Disso concluímos que e se fizermos onde é um número real, obteremos:
,
as duas séries são as famosas séries das funções e , respectivamente. Portanto, vemos que a função exponencial com argumento complexo será
.
aplicando para
Bibliografa Conway, John H.; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, Springer Crease, Robert P. (10 May 2004), "The greatest equations ever", Physics World Dunham, William (1999), Euler: The Master of Us All, Mathematical Association of America Euler, Leonhard (1922), Leonhardi Euleri opera omnia. 1, Opera mathematica. Volumen VIII, Leonhardi Euleri introductio in analysin infinitorum. Tomus primus, Leipzig: B. G. Teubneri Kasner, E.; Newman, J. (1940), Mathematics and the Imagination, Simon & Schuster Maor, Eli (1998), : The Story of a number, Princeton University Press Nahin, Paul J. (2006), Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills, Princeton University Press Paulos, John Allen (1992), Beyond Numeracy: An Uncommon Dictionary of Mathematics, Penguin Books Reid, Constance (várias edições), From Zero to Infinity, Mathematical Association of America Sandifer, C. Edward (2007), Euler's Greatest Hits, Mathematical Association of America
Categoria:Teoremas em análise complexa Categoria:Teoremas de matemática Categoria:E (constante matemática)