A lei dos gases ideais é a chamada equação de estado do gás ideal, também chamado de gás perfeito. Empiricamente, em tal lei, observam-se uma série de relações entre a temperatura, a pressão e o volume do gás que dão lugar à lei dos gases ideais, enunciada pela primeira vez por Émile Clapeyron, em 1834, o que confere, em muitos casos, o título equação de Clapeyron para a equação de estado dos gases ideais.
A equação de estado O comportamento termodinâmico mais simples é observado nos gases e, por esse motivo, facilmente verifica-se que, para fluidos homogêneos em geral, um estado de equilíbrio termodinâmico é inteiramente caracterizado por qualquer par entre as variáveis P, V e T (respectivamente, pressão, volume e temperatura). Esse princípio implica que a terceira das variáveis é função das outras duas, e, portanto, existe uma relação funcional do tipo , que relaciona as três principais propriedades de um gás e que é chamada de equação de estado do fluido. left|thumb|Gráfico de PV versus nT para um gás ideal. A inclinação da reta é dada pela constante universal dos gases ideais.|251x251px Há uma quarta grandeza na relação acima, , que representa o número de mols do gás. Embora essa grandeza não apresente dependência direta das outras três, a sua relação com elas provou ser de importância para o desenvolvimento da equação, a partir do momento em que se percebeu que o número de mols poderia influenciar nas demais propriedades gasosas envolvidas em um determinado processo. Em outras palavras, os quatro parâmetros apresentados acima são dependentes entre si e, alterando-se o valor de um deles, um ou mais também serão alterados. Isso contribui para uma mudança de estado do sistema.
Proporcionalidade entre as grandezas Começaram-se pesquisas a respeito do comportamento dos gases de acordo com a variação das variáveis , , e . Tabelas e gráficos elaborados em função dessas quatro grandezas mostram que existe uma proporcionalidade entre elas; mais especificamente, em um gráfico PV versus nT, é verificada uma reta com um valor específico de declividade, , o que fornece a seguinte razão:
,
em que R é a constante universal dos gases reais ou perfeitos e, como a própria nomenclatura sugere, é igual para todos os gases. Essa proporcionalidade entre tais grandezas levou, finalmente, à equação:
,
conhecida como lei dos gases ideais. Ela descreve normalmente a relação entre pressão, volume, temperatura e o número de mols (quantidade) de um determinado gás de comportamento ideal. As unidades das grandezas no Sistema Internacional são: é a pressão em pascal; é o volume em metro cúbico; é o número de mols da amostra gasosa; é a constante universal dos gases perfeitos; é a temperatura em kelvin.
Valores de R em diferentes unidades Valores de R Histórico do desenvolvimento das equações thumb|Robert Boyle, um dos desenvolvedores da lei para processos isotérmicos de gases ideais.|243x243px Enquanto a divulgação da lei geral foi dada por Clapeyron em 1834, foi o cientista anglo-irlandês Robert Boyle quem, já em 1662, estudou as propriedades dos gases, analisando o efeito da pressão num processo isotérmico, em que a temperatura é constante. Um século e meio depois, os cientistas franceses Jacques Alexandre Cesar Charles e Joseph-Louis Gay-Lussac descobriram novas leis envolvendo os gases, utilizando de balões de ar quente e verificando a influência da temperatura nas demais propriedades do gás, como pressão, volume e densidade. Das análises desses três pesquisadores proveram as equações para a descrição das transformações ou processos gasosos em condições específicas de pressão, volume e temperatura.
Além deles, o italiano Amedeo Avogadro demonstrou a relação entre o volume de um gás e o número de moléculas da amostra, estabelecendo, pois, a realidade dos átomos. A equação também pode ser derivada pelas interações microscópicas entre as partículas a partir da teoria cinética, tal como conseguido (aparentemente de forma independente) por August Krönig em 1856 Facsimile at the Bibliothèque nationale de France (pp. 315–22). e por Rudolf Clausius em 1857. Facsimile at the Bibliothèque nationale de France (pp. 353–79).
Funcionalidade Pelo fato de o gás ideal ser, na verdade, um gás hipotético, formado por partículas pontuais, sem atração ou repulsão entre elas e cujos choques são perfeitamente elásticos (o que, teoricamente, ocorre com conservação do momento linear, angular e da energia cinética do sistema), as condições reais para que se esteja tratando de um gás ideal são conjecturais.
Entretanto, as propriedades de um gás ideal são aproximadamente verificadas por gases reais a circunstâncias bastante específicas. Os que mais se aproximam ao comportamento físico-químico de um gás ideal são os gases monoatômicos em condições de baixa pressão e alta temperatura. Isso ocorre pois, quanto maior é o decréscimo da pressão, mais afastadas as moléculas ficam umas das outras e, consequentemente, as forças de atração e repulsão entre partículas tende a zero e elas passam a ocupar uma parte insignificante do volume total. Tal fato também explica o porquê de moléculas monoatômicas terem comportamento mais próximo do ideal, devido ao volume ocupado por elas no espaço.
Na prática, a lei dos gases ideais trata-se de uma excelente aproximação ao cenário real. Experimentos demonstram que o modelo de gás ideal é adequado para descrever o comportamento dos gases quando duas condições são satisfeitas: A densidade é baixa (isto é, os átomos ocupam um volume muito menor do que o do recipiente); A temperatura deve estar abaixo do ponto de condensação.
Demonstração pela teoria cinética dos gases thumb|Ludwig Boltzmann, um dos estudiosos da teoria cinética dos gases. De acordo com a teoria cinética molecular dos gases, desenvolvida por Ludwig Boltzmann e James Maxwel, os gases ideais assumem algumas simplificações a nível molecular a fim de calcular suas propriedades. Partindo desse princípio, assumimos que um gás é formado por átomos (isolados ou unidos em moléculas) que ocupam totalmente o volume do recipiente em questão, aplicam pressão sobre suas paredes e estão confinados a uma determinada temperatura. Essas três principais propriedades dos gases estão diretamente relacionadas com o movimento dos átomos, e, por esse motivo, a teoria cinética molecular é o alicerce dos fundamentos do estudo dos gases. O volume está diretamente relacionado à liberdade que os átomos têm para mover-se dentro de um recipiente; a pressão é proveniente das colisões dos átomos com as paredes do envoltório e a temperatura possui estreito vínculo com a energia cinética das moléculas.
De acordo com os pressupostos dessa teoria, são observáveis diversas características moleculares do gás: Todo gás ideal é formado por pequenas partículas, ou moléculas, e o número delas é muito grande; Tais moléculas gasosas movem-se a altas velocidades, em linha reta e desordenadamente; Um gás ideal exerce uma pressão contínua sobre as paredes do recipiente que o contém, devido aos incessantes choques das moléculas em suas paredes; Os choques são perfeitamente elásticos, o que se traduz em conservação de energia cinética e de momento; O seu tamanho é insignificante perto do volume do reservatório; Não ocorrem reações de atração e repulsão corpuscular entre as partículas; A energia cinética média de translação de uma molécula é diretamente proporcional à temperatura absoluta do gás;
A partir da análise da cinética das partículas de um gás, é possível chegar à equação dos gases ideais.thumb|Representação esquemática de uma molécula gasosa, de massa e componente horizontal da velocidade , movimentando-se no espaço tridimensional dentro de um recipiente.|220x220px|left Dedução Como o interesse é provar a equação , em que todas as grandezas são escalares, é conveniente trabalhar com o módulo dos vetores velocidade, deslocamento, força e momento linear no desenvolvimento abaixo.
Considerando uma partícula gasosa viajando no espaço de um recipiente retangular de lado , e área de cada parede , tem-se que o tempo entre as colisões com uma mesma parede é a distância percorrida até a nova colisão acontecer dividida pela componente horizontal da velocidade: . Além disso, a frequência de colisões com a parede é dada por .
Pela segunda lei de Newton, a força é a derivada do momento linear em relação ao tempo, . Devido a isso, tem-se que a força média de uma molécula será dada pela equação: .
Como a variação do momento linear é:
, combinando-se as equações do tempo e da frequência entre colisões e da variação do momento com a equação da força média, tem-se que:
A pressão que uma única molécula exerce, , é o módulo do vetor força média sobre unidade de área ,na qual há contato. Dessa maneira,
Como o volume do recipiente é , pode-se reescrever a equação da pressão exercida por uma partícula como , em que , a componente horizontal da velocidade de uma partícula de gás. Expandindo para moléculas, obtém-se:
Para simplificar a equação, é necessário aplicar a raiz do valor quadrático médio (ou root mean square, RMS) nas componentes horizontais das partículas do gás. Dessa forma, em vez de analisar a soma das partículas do gás, é possível substituir o somatório pela velocidade média de todas as moléculas multiplicada pelo número de moléculas, . Daí, obtém-se que:
Na equação acima, aplicou-se a média da velocidade de uma partícula para avaliar a velocidade média de todas as partículas do gás. Na prática, entretanto, é sabido que as partículas do gás não se movem apenas em componentes horizontais de velocidade. Como estão no espaço tridimensional, as partículas têm liberdade para movimentar-se em direções arbitrárias. Por isso, não é possível considerar os cálculos para uma partícula de massa movendo-se apenas no eixo . Dessa maneira, levando em conta as três possíveis componentes da velocidade da partícula, tem-se que: . Pelo fato de haver um grande número de moléculas de gás no recipiente (um dos pressupostos da teoria cinética dos gases), pode-se assumir que há um número aproximadamente igual de moléculas movendo-se em cada uma das direções. Isso resulta em: . Combinando as duas últimas equações, tem-se que , e, assim, a equação da pressão exercida por moléculas, admitindo e , torna-se:
Entretanto, para simplificar a equação, em vez de trabalhar com a velocidade, é definida a temperatura do gás como uma medida do grau de agitação das moléculas. Isso é feito pelo fato de medir a temperatura ser mais fácil do que medir a velocidade das partículas. Aproveitando-se do fato de que a velocidade é relacionada à energia cinética , tem-se que a energia cinética é proporcional à temperatura:
Para relacionar a equação da pressão adquirida com as relações acima, tem-se que:
Como a temperatura é proporcional à energia cinética, é possível escrever que:
, sendo uma constante com unidade (joule por kelvin).
Finalmente, substituindo na equação , obtém-se:
Pelo fato de uma molécula ser muito pequena, não é conveniente trabalhar com o número de moléculas . Portanto, dividimos o número de moléculas pelo número de Avogrado, , para obter o número de mols, , do gás em questão.
Isso é feito apenas para aplicar a equação da pressão em um contexto macroscópico, que não dependa do elevado número de moléculas. Como dividimos por , é necessário que a constante seja multiplicada pelo número de Avogrado, criando uma segunda constante, que verifica-se ser a constante . Assim, tem-se que:
. Substituindo os termos na equação principal, ter-se-á: