Na mecânica orbital, a equação de Kepler relaciona várias propriedades geométricas da órbita de um corpo sujeito a uma força central.
Foi derivada por Johannes Kepler em 1609 no Capítulo 60 de sua Astronomia nova, e no livro V de sua Epitome of Copernican Astronomy (1621), Kepler propôs uma solução iterativa para a equação. Esta equação e sua solução, no entanto, apareceram pela primeira vez em um trabalho do século IX de Habash al-Hasib al-Marwazi, que lidava com problemas de paralaxe. A equação desempenhou um papel importante na história da física e da matemática, particularmente na mecânica celeste clássica.
Equação miniatura|direita|Soluções da equação de Kepler para cinco excentricidades diferentes entre 0 e 1
A equação de Kepler é
onde é a anomalia média, é a anomalia excêntrica, e é a excentricidade.
A 'anomalia excêntrica' é útil para calcular a posição de um ponto que se move em uma órbita kepleriana. Por exemplo, se o corpo passa pelo periastro nas coordenadas , , no tempo , então para descobrir a posição do corpo em qualquer momento, você primeiro calcula a anomalia média a partir do tempo e do movimento médio pela fórmula , em seguida resolve a equação de Kepler acima para obter , e então obtém as coordenadas relativas ao corpo gravitacional central a partir de:
onde é o semieixo maior e é o semieixo menor.
A equação de Kepler é uma equação transcendental porque o seno é uma função transcendental, e não pode ser resolvida para algebricamente. A análise numérica e as expansões em séries são geralmente necessárias para avaliar .
Formas alternativas
Existem várias formas da equação de Kepler. Cada forma está associada a um tipo específico de órbita. A equação de Kepler padrão é usada para órbitas elípticas (). A equação de Kepler hiperbólica é usada para trajetórias hiperbólicas (). A equação de Kepler radial é usada para trajetórias lineares (radiais) (). A equação de Barker é usada para trajetórias parabólicas (para as quais ). Com a órbita parabólica, ao contrário das órbitas elípticas ou hiperbólicas, é possível resolver a equação de Barker e encontrar uma expressão em forma fechada para a posição como uma função do tempo.
Quando , a órbita é circular. O aumento de faz com que o círculo se torne elíptico. Quando , existem quatro possibilidades: uma trajetória parabólica, uma trajetória de ida e volta ao longo de um segmento de reta a partir do centro de atração até um ponto a alguma distância, uma trajetória indo para dentro ou para fora ao longo de uma semirreta infinita emanando do centro de atração, com sua velocidade indo a zero com a distância ou uma trajetória ao longo de uma semirreta, mas com a velocidade não tendendo a zero com a distância.
Um valor de ligeiramente acima de 1 resulta em uma órbita hiperbólica com um ângulo de desvio de pouco menos de 180 graus. Aumentos adicionais reduzem o ângulo de desvio, e conforme tende ao infinito, a órbita se torna uma linha reta de comprimento infinito.
Equação de Kepler hiperbólica
A equação de Kepler hiperbólica é:
onde é a anomalia excêntrica hiperbólica. Esta equação é derivada redefinindo M como sendo a raiz quadrada de −1 vezes o lado direito da equação elíptica:
(na qual agora é imaginário) e em seguida substituindo por .
Equações de Kepler radiais A equação de Kepler radial para o caso em que o objeto não tem energia suficiente para escapar é:
onde é proporcional ao tempo e é proporcional à distância a partir do centro de atração ao longo da semirreta e atinge o valor 1 na distância máxima. Esta equação é derivada multiplicando-se a equação de Kepler por 1/2 e definindo como 1:
e, em seguida, fazendo a substituição
A equação radial para quando o objeto tem energia suficiente para escapar é:
Quando a energia é exatamente a quantidade mínima necessária para escapar, então o tempo é simplesmente proporcional à distância elevada à potência de 3/2.
Problema inverso
Calcular para um dado valor de é direto. No entanto, resolver para quando é dado pode ser consideravelmente mais desafiador. Não existe uma solução em forma fechada. Resolver para é mais ou menos equivalente a resolver para a anomalia verdadeira, ou a diferença entre a anomalia verdadeira e a anomalia média, que é chamada de "Equação do centro".
Pode-se escrever uma expressão em série infinita para a solução da equação de Kepler usando a inversão de Lagrange, mas a série não converge para todas as combinações de e (veja abaixo).
A confusão sobre a resolubilidade da equação de Kepler persistiu na literatura por quatro séculos.Frequentemente se afirma que a equação de Kepler "não pode ser resolvida analiticamente"; veja por exemplo aqui. Outros autores afirmam que não pode ser resolvida de forma alguma; veja por exemplo Madabushi V. K. Chari; Sheppard Joel Salon; Numerical Methods in Electromagnetism, Academic Press, San Diego, CA, USA, 2000, , p. 659 O próprio Kepler expressou dúvida sobre a possibilidade de encontrar uma solução geral:
A expansão em série de Fourier (com respeito a ) usando funções de Bessel é
Com respeito a , é uma série de Kapteyn.
Equação de Kepler inversa
A equação de Kepler inversa é a solução da equação de Kepler para todos os valores reais de :
Avaliando isso produz:
Estas séries podem ser reproduzidas no Mathematica com a operação InverseSeries. InverseSeries[Series[M - Sin[M], {M, 0, 10}]] InverseSeries[Series[M - e Sin[M], {M, 0, 10}]]
Estas funções são simples séries de Maclaurin. Tais representações em séries de Taylor de funções transcendentais são consideradas como definições dessas funções. Portanto, esta solução é uma definição formal da equação de Kepler inversa. No entanto, não é uma função inteira de para um dado diferente de zero. De fato, a derivada
tende a zero em um conjunto infinito de números complexos quando sendo o mais próximo de zero em e nestes dois pontos
(onde o cosh inverso é considerado positivo), e tende ao infinito nesses valores de . Isso significa que o raio de convergência da série de Maclaurin é e a série não convergirá para valores de maiores que este. A série também pode ser usada para o caso hiperbólico, no qual o raio de convergência é A série para quando converge quando .
Embora esta solução seja a mais simples em um certo sentido matemático, outras soluções são preferíveis para a maioria das aplicações. Alternativamente, a equação de Kepler pode ser resolvida numericamente.
A solução para foi encontrada por Karl Stumpff em 1968, mas a sua importância não foi reconhecida.
Pode-se também escrever uma série de Maclaurin em . Esta série não converge quando for maior que o Limite de Laplace (cerca de 0,66), independentemente do valor de (a menos que seja um múltiplo de ), mas converge para todos os se for menor que o limite de Laplace. Os coeficientes na série, além do primeiro (que é simplesmente ), dependem de de forma periódica com período .
Equação de Kepler radial inversa
A equação de Kepler radial inversa () para o caso em que o objeto não tem energia suficiente para escapar pode, da mesma forma, ser escrita como:
Avaliando isso produz:
Para obter este resultado usando o Mathematica: InverseSeries[Series[ArcSin[Sqrt[t]] - Sqrt[(1 - t) t], {t, 0, 15}]]
Aproximação numérica do problema inverso
Método de Newton
Para a maioria das aplicações, o problema inverso pode ser computado numericamente encontrando a raiz da função:
Isto pode ser feito iterativamente através do método de Newton:
Observe que e estão em unidades de radianos neste cálculo. Esta iteração é repetida até que a precisão desejada seja obtida (por ex. quando < precisão desejada). Para a maioria das órbitas elípticas, um valor inicial de é suficiente. Para órbitas com , um valor inicial de pode ser usado. Inúmeros trabalhos desenvolveram estimativas iniciais precisas (mas também mais complexas). Se é identicamente 1, então a derivada de , que está no denominador do método de Newton, pode chegar perto de zero, tornando os métodos baseados em derivadas como Newton-Raphson, secante ou regula falsi numericamente instáveis. Nesse caso, o método da bisseção fornecerá convergência garantida, particularmente porque a solução pode ser limitada em um pequeno intervalo inicial. Nos computadores modernos, é possível atingir 4 ou 5 dígitos de precisão em 17 a 18 iterações. Uma abordagem semelhante pode ser usada para a forma hiperbólica da equação de Kepler. No caso de uma trajetória parabólica, a equação de Barker é usada.
Iteração de ponto fixo
Um método relacionado começa notando que . A substituição repetida da expressão à direita pelo à direita produz um algoritmo simples de iteração de ponto fixo para avaliar . Este método é idêntico à solução de Kepler de 1621. Em pseudocódigo:
function E(e, M, n) E = M for k = 1 to n E = M + e*sin E next k return E
O número de iterações, , depende do valor de . A forma hiperbólica de modo similar possui .
Este método está relacionado à solução pelo método de Newton acima, no qual
Até primeira ordem nas pequenas quantidades e ,
.
Ver também Equação do centro Leis de Kepler Problema de Kepler Problema de Kepler na relatividade geral Trajetória radial
Referências
Ligações externas
Kepler's Equation at Wolfram Mathworld
Categoria:Johannes Kepler Categoria:Órbitas