As equações de Navier-Stokes expressam matematicamente o balanço de momento para fluidos newtonianos e fazem uso da conservação de massa. Às vezes, elas são acompanhadas por uma equação de estado relacionando pressão, temperatura e densidade. Elas surgem da aplicação da segunda lei de Newton ao movimento dos fluidos, juntamente com a premissa de que a tensão no fluido é a soma de um termo viscoso difusivo (proporcional ao gradiente de velocidade) e um termo de pressão — descrevendo, assim, o escoamento viscoso. As equações de Navier-Stokes generalizam as equações de Euler, na medida em que o modelo destas últimas considera apenas o escoamento invíscido.

As equações de Navier-Stokes são de grande interesse científico e de engenharia porque podem ser usadas para modelar uma ampla variedade de cenários. Em suas formas completas ou simplificadas, elas podem auxiliar no projeto de aeronaves e carros, no estudo do fluxo sanguíneo, no projeto de usinas de energia, na análise da poluição e em muitos outros problemas. Acopladas às equações de Maxwell, elas compõem os fundamentos da magnetohidrodinâmica.

As equações de Navier-Stokes também são de grande interesse num sentido puramente matemático. Apesar da sua vasta gama de usos práticos, a conjectura de que elas possuem soluções suaves (significando infinitamente diferenciáveis) ou limitadas em três dimensões ainda não foi provada. Isso é chamado de problema de existência e suavidade de Navier-Stokes. O Instituto Clay de Matemática (Clay Mathematics Institute) chamou este de um dos sete problemas em aberto mais importantes da matemática e ofereceu um prêmio de US$ 1 milhão por uma solução ou um contraexemplo.

Em 8 de setembro de 2026, a empresa de inteligência artificial OpenAI afirmou que seus pesquisadores haviam demonstrado uma ruptura na regularidade (formação de singularidade em tempo finito ou blowup) das soluções das equações de Navier–Stokes no espaço euclidiano tridimensional, acompanhada de uma formalização no assistente de provas Lean, obtida por meio de milhares de agentes autônomos de IA executando um modelo de fronteira interno. A alegação não foi verificada de forma independente por matemáticos externos ou pelo Instituto de Matemática Clay, e a OpenAI declarou que não reivindicaria a premiação de um milhão de dólares dos Prêmios do Milênio. O anúncio foi acompanhado por uma disputa de prioridade envolvendo Levent Alpöge (pesquisador da concorrente Anthropic) e Tristan Buckmaster, que haviam obtido resultados estreitamente correlatos sobre as equações de Euler. A metodologia empregada pelo sistema baseou-se em uma técnica formulada pelos matemáticos Diego Córdoba e Luis Martínez-Zoroa em 2023 para comprovar fenômenos de singularidade em equações da dinâmica de fluidos.

Velocidade do escoamento A solução das equações é uma velocidade do escoamento. Trata-se de um campo vetorial — para cada ponto em um fluido, em qualquer momento em um intervalo de tempo, ele fornece um vetor cuja direção e magnitude são aquelas da velocidade do fluido naquele ponto no espaço e naquele instante de tempo. É estudado em três dimensões espaciais e uma dimensão temporal, e análogos de dimensões superiores são estudados tanto na matemática pura quanto na aplicada. Uma vez calculado o campo de velocidade, outras quantidades de interesse, como a pressão ou a temperatura, podem ser encontradas utilizando equações e relações dinâmicas. Isso é diferente do que normalmente se vê na mecânica clássica, onde as soluções são tipicamente trajetórias da posição de uma partícula ou deflexão de um contínuo. Estudar a velocidade em vez da posição faz mais sentido para um fluido, embora para propósitos de visualização seja possível computar várias trajetórias. Em particular, as linhas de corrente de um campo vetorial, interpretadas como velocidade de escoamento, são os caminhos ao longo dos quais uma partícula de fluido sem massa viajaria. Esses caminhos são as curvas integrais cuja derivada em cada ponto é igual ao campo vetorial, e elas podem representar visualmente o comportamento do campo vetorial em um determinado momento.

Equações gerais do contínuo

A equação do momento de Navier-Stokes pode ser derivada como uma forma particular da equação do momento de Cauchy, cuja forma convectiva geral é:

Ao definir o tensor de tensão de Cauchy como sendo a soma de um termo de viscosidade (a tensão desviadora) e um termo de pressão (tensão volumétrica), chegamos a:

onde é a derivada material, definida como , é a densidade (de massa), é a velocidade de escoamento, é a divergência, é a pressão, é o tempo, é o tensor de tensão desviadora, que tem ordem 2, representa as acelerações de corpo atuando sobre o contínuo, por exemplo, a gravidade, acelerações inerciais, acelerações eletrostáticas, e assim por diante.

Nesta forma, é aparente que na premissa de um fluido invíscido — sem tensão desviadora — as equações de Cauchy se reduzem às equações de Euler.

Assumindo a conservação da massa, com as propriedades conhecidas de divergência e gradiente, podemos usar a equação da continuidade de massa, que representa a massa por unidade de volume de um fluido homogêneo em relação ao espaço e ao tempo (isto é, a derivada material ) de qualquer volume finito (V) para representar a mudança de velocidade em meios fluidos: onde é a derivada material da massa por unidade de volume (densidade, ), é a operação matemática para a integração em todo o volume (V), é o operador matemático de derivada parcial, é a divergência da velocidade do escoamento (), que é um campo escalar,Refere-se ao operador matemático del representado pelo símbolo nabla (). é o gradiente de densidade (), que é a derivada vetorial de um campo escalar, para chegar à forma de conservação das equações de movimento. Isto é frequentemente escrito como:

onde é o produto externo da velocidade do escoamento ():

O lado esquerdo da equação descreve a aceleração e pode ser composto por componentes dependentes do tempo e convectivos (além dos efeitos de coordenadas não inerciais, se presentes). O lado direito da equação é, na verdade, um somatório de efeitos hidrostáticos, da divergência da tensão desviadora e das forças de corpo (como a gravidade).

Todas as equações de balanço não relativísticas, como as equações de Navier-Stokes, podem ser derivadas começando com as equações de Cauchy e especificando o tensor de tensão por meio de uma relação constitutiva. Ao expressar o tensor de tensão desviadora (de cisalhamento) em termos da viscosidade e do gradiente de velocidade do fluido, e assumindo viscosidade constante, as equações de Cauchy acima levarão às equações de Navier-Stokes abaixo.

Aceleração convectiva

thumb|Um exemplo de convecção. Embora o escoamento possa ser permanente (independente do tempo), o fluido desacelera à medida que se move pelo duto divergente (assumindo escoamento incompressível ou compressível subsônico), logo há uma aceleração acontecendo ao longo da posição

Uma característica significativa da equação de Cauchy e, consequentemente, de todas as outras equações do contínuo (incluindo Euler e Navier-Stokes) é a presença da aceleração convectiva: o efeito da aceleração de um escoamento em relação ao espaço. Embora partículas de fluido individuais de fato experimentem aceleração dependente do tempo, a aceleração convectiva do campo de escoamento é um efeito espacial, sendo um exemplo a aceleração do fluido em um bocal.

Escoamento compressível Observação: aqui, o tensor de tensão desviadora é denotado por assim como estava nas equações gerais do contínuo e na seção de escoamento incompressível.

A equação de momento de Navier-Stokes compressível resulta das seguintes premissas sobre o tensor de tensão de Cauchy:

a tensão é invariante de Galileu: não depende diretamente da velocidade do escoamento, mas apenas das derivadas espaciais da velocidade do escoamento. Portanto, a variável de tensão é o gradiente tensorial , ou mais simplesmente o tensor taxa de deformação: a tensão desviadora é linear nesta variável: , onde é independente do tensor taxa de deformação, é o tensor de quarta ordem que representa a constante de proporcionalidade, chamada de viscosidade ou tensor de elasticidade, e : é o produto escalar duplo. assume-se que o fluido é isotrópico, como ocorre com gases e líquidos simples, e consequentemente é um tensor isotrópico; além disso, uma vez que o tensor de tensão desviadora é simétrico, pela decomposição de Helmholtz ele pode ser expresso em termos de dois parâmetros de Lamé escalares, a segunda viscosidade e a viscosidade dinâmica , como é usual na elasticidade linear:

onde é o tensor identidade, e é o traço do tensor taxa de deformação. Assim, essa decomposição pode ser explicitamente definida como:

Dado que o traço do tensor taxa de deformação em três dimensões é a divergência (isto é, taxa de expansão) do escoamento:

Dada essa relação, e já que o traço do tensor identidade em três dimensões é três:

o traço do tensor tensão em três dimensões se torna:

Portanto, ao decompor alternativamente o tensor tensão em partes isotrópica e desviadora, como é usual na dinâmica dos fluidos:

Introduzindo a viscosidade volumétrica ,

chegamos à equação constitutiva linear na forma usualmente empregada na hidráulica térmica:

que também pode ser organizada na outra forma usual:Bird, Stewart, Lightfoot, Transport Phenomena, 1st ed., 1960, eq. (3.2-11a)

Observe que no caso compressível a pressão não é mais proporcional ao termo de tensão isotrópica, uma vez que existe o termo adicional de viscosidade volumétrica:

e o tensor de tensão desviadora ainda coincide com o tensor de tensão de cisalhamento (isto é, a tensão desviadora em um fluido newtoniano não tem componentes de tensão normal), e possui um termo de compressibilidade além do caso incompressível, o qual é proporcional à viscosidade de cisalhamento:

Tanto a viscosidade volumétrica quanto a viscosidade dinâmica não precisam ser constantes – em geral, elas dependem de duas variáveis termodinâmicas se o fluido contiver uma única espécie química, como por exemplo, pressão e temperatura. Qualquer equação que torne explícito um desses coeficientes de transporte nas variáveis de conservação é chamada de equação de estado.

A mais geral das equações de Navier-Stokes torna-se

em notação indicial, a equação pode ser escrita comoLandau, Lev Davidovich, and Evgenii Mikhailovich Lifshitz. Fluid mechanics: Landau And Lifshitz: course of theoretical physics, Volume 6. Vol. 6. Elsevier, 2013.

A equação correspondente na forma de conservação pode ser obtida considerando que, dada a equação da continuidade de massa, o lado esquerdo é equivalente a:

para dar, finalmente: