thumb|Um losango é uma figura formada por quatro lados de igual comprimento.
Losango (◊) é um quadrilátero equilátero, ou seja, é um polígono formado por quatro lados de igual comprimento. Um losango é também um paralelogramo. Alguns autores exigem ainda que nenhum dos ângulos do quadrilátero seja reto para que ele seja considerado um losango.Campos (1735), .
Todo losango é um paralelogramo, e um losango com ângulos retos é um quadrado.Nota: a definição original de Euclides e de alguns dicionários de língua inglesa excluem os quadrados, mas os matemáticos modernos preferem a definição inclusiva. uso inclusivo
Uma superfície cujos limites são um losango, ou semelhantes a um losango, designa-se por superfície rômbica.
Em Engenharia e em Física, a designação "rombo" é mais comum.
Etimologia O losango também é chamado de rombo e vem do grego "" (rhombos), ou seja, algo que gira que deriva do verbo "ρέμβω" (rhembō) que significa voltas e voltas. Já a palavra losango vem do latim arcaico lausa, que designa uma pedra achatada e também derivou na palavra lousa.
Propriedades geométricas A seguir temos algumas propriedades dos losangos e em seguida suas respectivas demonstrações. Ângulos opostos têm medidas iguais. As suas diagonais são bissetrizes. As suas diagonais são retas perpendiculares. Todo losango tem um círculo inscrito.
Demonstrações das propriedades
1° Propriedade Essa propriedade é intuitiva e ela parte do fato de que um losango é um caso especial de um paralelogramo. Como todo paralelogramo possui ângulos opostos congruentes, então todo losango também possui ângulos opostos congruentes.
2° Propriedade miniaturadaimagem|437x437px Para demonstrar essa propriedade vamos, inicialmente, escrevê-la em notação matemática.
Por definição temos que todos os lados são congruentes. Assim cada uma das diagonais divide o losango em dois triângulos isósceles.
Visto que todo losango é um paralelogramo, temos também que suas diagonais se interceptam em seus pontos médios. Assim, sendo o ponto de intersecção das diagonais, temos:
Unindo essas duas implicações temos:
Visto que todos esses triângulos são congruentes, temos:
Logo, as diagonais de um losango são bissetrizes de seus respectivos ângulos internos.
3° Propriedade Essa propriedade será demonstrada em duas partes (a 'ida' e a 'volta' do teorema).
Todo losango tem diagonais perpendiculares miniaturadaimagem|437x437px Vamos demonstrar que se um quadrilátero é um losango, então ele é tem as diagonais perpendiculares.
Como todo losango é um paralelogramo (por possuir lados opostos paralelos), temos que suas diagonais se interceptam em seus respectivos pontos médios. Ou seja, sendo e as diagonais temos:
Agora tomamos os seguintes triângulos: , , e .
Pelo caso de congruência , temos as congruências:
.
Assim verificamos que os ângulos de vértices são congruentes e suplementares, ou seja:
Todo paralelogramo que possui diagonais perpendiculares é losango miniaturadaimagem|366x366px Vamos demonstrar se um paralelogramo possui diagonais perpendiculares, então ele é um losango.
Como é paralelogramo, temos que seus lados opostos são congruentes, ou seja:
e .
Também, por ser paralelogramo temos que as diagonais interceptam-se em seus respectivos pontos médios, ou seja:
Como diagonais são perpendiculares, temo que : miniaturadaimagem|376x376px .
Dessas relações, através do caso de congruência , temos:
.
Logo, é um losango.
Ângulos O único losango que não possui dois ângulos agudos (menores que 90°) e dois ângulos obtusos (maiores que 90°) é o quadrado. O quadrado possui quatro ângulos iguais a 90°.
Área
Existem varias formas de se visualizar a fórmula da área. A mais usual é partindo do que se conhece sobre a fórmula da área do paralelogramo. A área A de um paralelogramo é o produto da sua base pela sua altura (h na ilustração). No losango qualquer lado, todos de comprimento a, se presta a fazer o papel de base:
Outra forma usual de visualizar a área do losango, é percebendo que o traçado de suas diagonais permite dividi-lo em quatro triângulos retângulos simétricos e de mesma área:
onde K é a área de um dos triângulos, p e q as diagonais do losango. A correspondência com a área da primeira abordagem é demonstrada na análise do incentro.
Uma terceira forma, se baseia na primeira, mas expressando h como projeção de um lado a, ou seja, como cateto oposto do ângulo , portando expressando através do seno,
onde é lembrado que o seno de qualquer ângulo do losango é o mesmo (num paralelogramo os ângulos são suplementares entre si).
Incentro thumb|Visualizando o losango como quadra triângulos-retângulo simétricos (de área K), dados pelas diagonais (p e q).
Para calcular o raio do incentro de um losango, basta usar a seguinte fórmula considerando p e q como diagonais dele.
observando o triângulo-retângulo de hipotenusa a e catetos p/2 e q/2, concluímos que a área K de cada triângulo ilustrado é:
Também pode ser aplicada a seguinte fórmula para o cálculo da área de um losango:
Área=D*d/2
D representa o comprimento de sua diagonal maior e d representa o comprimento de sua diagonal menor.
Ou seja, a área de um losango é a metade do produto de suas diagonais.
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