thumb|350px|right|Ilustração das coordenadas toroidais, que são obtidas pela rotação do sistema de coordenadas bipolar bidimensional sobre um eixo separando seus focos. O foco está localizado a uma distância vertical 1 do eixo z. A esfera vermelha é a isosuperfície σ=30°, o toro azul é a isosuperfície τ=0,5, e o semi-plano amarelo é a isosuperfície φ=60°. O semi-plano verde marca o plano x-z plane, a partir do qual φ é medido. O ponto preto está na intersecção dessas três isosuperfícies, nas coordenas cartesianas (0.996, -1.725, 1.911).
Coordenadas toroidais são um sistema de coordenadas ortogonais, tridimensional que é gerado pela rotação do sistema de coordenadas bipolares sobre um eixo que separa seus dois focos. Assim, os dois focos e em coordenadas bipolares se tornam um anel de raio no plano plane do sistema de coordenadas toroidais; o eixo é o eixo de rotação.
Definição thumb|right|350px|Interpretação geométrica das coordenadas σ e τ de um ponto P.
A definição mais comum das coordenadas toroidais é
onde a coordenada de um ponto é igual ao ângulo e a coordenada é igual ao logaritmo natural da razão das distâncias e
Transformação inversa As coordenadas (σ, τ, φ) podem ser calculadas a partir das coordenadas cartesianas (x, y, z) como segue. O ângulo azimutal φ é dado pela fórmula
O raio cilíndrico ρ do ponto P é dado por
e sua distância ao foco no plano definido por φ é dado por
A coordenada τ é igual ao logaritmo natural das distâncias focais.
Fatores de escalas Os fatores de escala para as coordenadas toroidais e são
enquanto o fator de escala azimutal é
Assim, um elemento infinitesimal de volume, nessas coordenadas, é dado por
e o laplaciano é toma a forma
Referências Byerly, WE. (1893) An elementary treatise on Fourier's series and spherical, cylindrical, and ellipsoidal harmonics, with applications to problems in mathematical physics Ginn & co. pp. 264-266
Bibliografia
Ligações externas Coordenadas Toroidais no MathWorld
Categoria:Sistemas de coordenadas