Em matemática, a desigualdade de Bernoulli afirma que o polinômio real , elevado ao número inteiro não negativo , é maior ou igual à soma de com o produto de e , quando é maior que . Essa desigualdade pode ser utilizada em problemas relacionados à análise combinatória .
Enunciados A desigualdade de Bernoulli afirma que: , sempre que e é um número inteiro não negativo.
Esta desigualdade pode ser generalizada considerando-se o caso em que é um real maior ou igual a .
Demonstração Esta desigualdade pode ser provada por indução matemática, como se segue. Certamente
.
Multiplicando-se ambos os lados da hipótese de indução
por (que é um termo positivo uma vez que ) obtém-se . O termo é positivo e, portanto, .
Assim, como , o resultado vale para todo inteiro .
Demonstração do caso geral Considere um número real maior ou igual a e defina a função auxiliar por ,
de modo que basta mostrar que quando .
Tomando a derivada em , tem-se
,
ou seja, ,
o que mostra que é crescente para e decrescente no intervalo . Portanto, admite um mínimo global no ponto , onde é nula. Assim concluí-se que
, o que completa a demonstração.
Bernoulli