O teorema de Bell é um termo que abrange uma série de resultados intimamente relacionados na física, todos os quais determinam que a mecânica quântica é incompatível com teorias locais de variáveis ocultas, dadas algumas suposições básicas sobre a natureza da medição. O primeiro resultado desse tipo foi introduzido por John Stewart Bell em 1964, baseando-se no paradoxo de Einstein-Podolsky-Rosen, que chamou a atenção para o fenômeno do emaranhamento quântico.

No contexto do teorema de Bell, "local" refere-se ao princípio da localidade, a ideia de que uma partícula só pode ser influenciada por seu entorno imediato, e que interações mediadas por campos físicos não podem se propagar mais rápido que a velocidade da luz. "Variáveis ocultas" são propriedades supostas de partículas quânticas que não estão incluídas na teoria quântica, mas que, no entanto, afetam o resultado dos experimentos. Nas palavras de Bell, "Se [uma teoria de variáveis ocultas] for local, não concordará com a mecânica quântica, e se concordar com a mecânica quântica, não será local."

Em seu artigo original, Bell analisou medições independentes em duas partículas espacialmente separadas de um par emaranhado. Ele assumiu que cada resultado é determinado por variáveis ocultas locais. Sob essa suposição, as correlações entre os resultados devem obedecer a uma restrição matemática específica. Tal restrição seria mais tarde chamada de desigualdade de Bell. Bell então mostrou que a física quântica prevê correlações que violam esta desigualdade. Múltiplas variações do teorema de Bell foram propostas nos anos seguintes ao seu artigo original, usando diferentes suposições e obtendo diferentes desigualdades de Bell (ou "do tipo Bell").

O primeiro experimento de laboratório a observar uma violação da desigualdade de Bell foi conduzido por John Clauser e Stuart Freedman, que publicaram seus resultados em 1970. Experimentos mais avançados, conhecidos coletivamente como testes de Bell, foram realizados muitas vezes desde então. Frequentemente, esses experimentos tiveram o objetivo de "fechar brechas" (do inglês loopholes), isto é, eliminar problemas de design experimental ou configuração que poderiam, em princípio, afetar a validade das descobertas de testes de Bell anteriores. Os testes de Bell têm descoberto consistentemente que os sistemas físicos obedecem à mecânica quântica e violam as desigualdades de Bell; o que quer dizer que os resultados desses experimentos são incompatíveis com as teorias de variáveis ocultas locais.

A natureza exata das suposições necessárias para provar uma restrição do tipo Bell sobre as correlações tem sido debatida por físicos e por filósofos. Embora a importância do teorema de Bell não esteja em dúvida, diferentes interpretações da mecânica quântica discordam sobre o que exatamente ele implica.

Teorema Existem muitas variações da ideia básica, algumas empregando suposições matemáticas mais fortes do que outras. Significativamente, os teoremas do tipo Bell não se referem a nenhuma teoria específica de variáveis ocultas locais, mas mostram que a física quântica viola suposições gerais por trás das visões clássicas da natureza. O teorema original provado por Bell em 1964 não é o mais adequado para experimentos, e é conveniente introduzir o gênero de desigualdades do tipo Bell com um exemplo posterior.

Personagens hipotéticos Alice e Bob estão em locais amplamente separados. Seu colega Victor prepara um par de partículas e envia uma para Alice e a outra para Bob. Quando Alice recebe sua partícula, ela escolhe realizar uma de duas medições possíveis (talvez jogando uma moeda para decidir qual). Denotamos essas medições por e . Tanto quanto são medições binárias: o resultado de é ou , e o mesmo vale para . Quando Bob recebe sua partícula, ele escolhe uma de duas medições, e , que também são ambas binárias.

Suponha que cada medição revele uma propriedade que a partícula já possuía. Por exemplo, se Alice escolhe medir e obtém o resultado , então a partícula que ela recebeu carregava um valor de para uma propriedade . Considere a combinação:

Como tanto quanto assumem os valores , então ou ou . No primeiro caso, a quantidade deve ser igual a 0, enquanto no último caso, . Assim, um dos termos no lado direito da expressão acima desaparecerá e o outro será igual a . Consequentemente, se o experimento for repetido ao longo de muitas tentativas, com Victor preparando novos pares de partículas, o valor absoluto da média da combinação em todas as tentativas será menor ou igual a 2. Nenhuma tentativa única pode medir esta quantidade, porque Alice e Bob podem escolher apenas uma medição cada, mas sob a suposição de que as propriedades subjacentes existem, o valor médio da soma é apenas a soma das médias de cada termo. Usando colchetes angulares para denotar médias:

Esta é uma desigualdade de Bell, especificamente, a desigualdade CHSH. Sua derivação aqui depende de duas suposições: primeiro, que as propriedades físicas subjacentes e existem independentemente de serem observadas ou medidas (às vezes chamada de suposição de realismo); e segundo, que a escolha de ação de Alice não pode influenciar o resultado de Bob ou vice-versa (frequentemente chamada de suposição de localidade).

A mecânica quântica pode violar a desigualdade CHSH da seguinte forma. Victor prepara um par de qubits que ele descreve pelo Estado de Bell:

onde e são os estados próprios de uma das matrizes de Pauli:

Victor então passa o primeiro qubit para Alice e o segundo para Bob. As escolhas de Alice e Bob para possíveis medições também são definidas em termos das matrizes de Pauli. Alice mede qualquer um dos dois observáveis e :

e Bob mede qualquer um dos dois observáveis:

Victor pode calcular os valores de expectativa quântica para pares desses observáveis usando a Regra de Born:

Embora apenas uma dessas quatro medições possa ser feita em uma única tentativa do experimento, a soma:

fornece a soma dos valores médios que Victor espera encontrar em múltiplas tentativas. Este valor excede o limite superior clássico de 2 que foi deduzido da hipótese de variáveis ocultas locais. O valor é de fato o maior que a física quântica permite para esta combinação de valores de expectativa, tornando-o um limite de Tsirelson.

A desigualdade CHSH também pode ser pensada como um jogo no qual Alice e Bob tentam coordenar suas ações. Victor prepara dois bits, e , de forma independente e aleatória. Ele envia o bit para Alice e o bit para Bob. Alice e Bob vencem se retornarem bits de resposta e para Victor, satisfazendo:

Ou, equivalentemente, Alice e Bob vencem se o AND lógico de e for o XOR lógico de e . Alice e Bob podem concordar com qualquer estratégia que desejarem antes do jogo, mas não podem se comunicar assim que o jogo começar. Em qualquer teoria baseada em variáveis ocultas locais, a probabilidade de vitória de Alice e Bob não é superior a , independentemente da estratégia acordada previamente. No entanto, se eles compartilharem um estado quântico emaranhado, sua probabilidade de vitória pode chegar a:

Variações e resultados relacionados Bell (1964) O artigo de Bell de 1964 mostra que um modelo de variáveis ocultas locais muito simples pode, em circunstâncias restritas, reproduzir as previsões da mecânica quântica, mas depois ele demonstra que, em geral, tais modelos dão previsões diferentes. Bell considera um refinamento feito por David Bohm do experimento mental de Einstein-Podolsky-Rosen (EPR). Neste cenário, um par de partículas é formado junto de tal forma que são descritas por um estado singlete de spin (que é um exemplo de um estado emaranhado). As partículas então se afastam em direções opostas. Cada partícula é medida por um dispositivo de Stern-Gerlach, um instrumento de medição que pode ser orientado em diferentes direções e que relata um de dois resultados possíveis, representáveis por e . A configuração de cada instrumento de medição é representada por um vetor unitário, e a previsão da mecânica quântica para a correlação entre dois detectores com configurações e é:

Em particular, se a orientação dos dois detectores for a mesma (), então o resultado de uma medição será certamente o negativo do resultado da outra, resultando em . E se as orientações dos dois detectores forem ortogonais (), então os resultados não são correlacionados, e . Bell prova por exemplo que estes casos especiais podem ser explicados em termos de variáveis ocultas, e então prossegue para mostrar que a gama completa de possibilidades envolvendo ângulos intermediários não pode.

Bell postulou que um modelo de variáveis ocultas locais para essas correlações as explicaria em termos de uma integral sobre os valores possíveis de algum parâmetro oculto :

onde é uma função de densidade de probabilidade. As duas funções e fornecem as respostas dos dois detectores dados os vetores de orientação e a variável oculta:

Crucialmente, o resultado do detector não depende de , e da mesma forma o resultado de não depende de , porque os dois detectores estão fisicamente separados. Agora supomos que o experimentador tem uma escolha de configurações para o segundo detector: ele pode ser configurado para ou para . A partir da suposição de que , isto é, anticorrelações perfeitas são observadas para a mesma configuração, Bell prova que:

No entanto, é fácil encontrar situações em que a mecânica quântica viola a desigualdade de Bell enquanto exibe anticorrelações perfeitas. Por exemplo, sejam os vetores e ortogonais, e seja no seu plano a um ângulo de 45° de ambos. Então:

enquanto:

mas:

Portanto, não há modelo de variáveis ocultas locais que possa reproduzir as previsões da mecânica quântica para todas as escolhas de , , e Os resultados experimentais contradizem as curvas clássicas e coincidem com a curva prevista pela mecânica quântica, desde que as deficiências experimentais sejam levadas em conta.

O teorema de Bell de 1964 requer a possibilidade de anticorrelações perfeitas: a capacidade de fazer uma previsão completamente certa sobre o resultado do segundo detector, sabendo o resultado do primeiro. O teorema baseia-se no "critério de realidade EPR", um conceito introduzido no artigo de 1935 por Einstein, Podolsky e Rosen. Esse artigo postula: "Se, sem de forma alguma perturbar um sistema, pudermos prever com certeza (ou seja, com probabilidade igual à unidade) o valor de uma quantidade física, então existe um elemento de realidade correspondente a essa quantidade." Bell observou que isso se aplica quando os dois detectores estão orientados na mesma direção (), e assim o critério EPR implicaria que algum elemento de realidade deve predeterminar o resultado da medição. Como a descrição quântica de uma partícula não inclui tal elemento, a descrição quântica teria que ser incompleta. Em outras palavras, o artigo de Bell de 1964 mostra que, assumindo a localidade, o critério EPR implica variáveis ocultas e então ele demonstra que variáveis ocultas locais são incompatíveis com a mecânica quântica. Como os experimentos não podem atingir correlações ou anticorrelações perfeitas na prática, são testadas desigualdades do tipo Bell baseadas em derivações que relaxam essa suposição.

GHZ–Mermin (1990)

Daniel Greenberger, Michael A. Horne e Anton Zeilinger apresentaram um experimento mental de quatro partículas em 1990, que David Mermin então simplificou para usar apenas três partículas. Neste experimento mental, Victor gera um conjunto de três partículas de spin-1/2 descritas pelo estado quântico: