Na matemática, −1 (um negativo ou menos um) é o inverso aditivo de 1, ou seja, o número que adicionado a 1 dá o elemento de identidade aditivo, 0. É o número inteiro negativo maior que dois negativos (−2) e menor que 0.
Propriedades algébricas
Multiplicação
Multiplicar um número por −1 equivale a mudar o sinal do número – ou seja, para qualquer temos . Isso pode ser provado usando a lei distributiva e o axioma de que 1 é a identidade multiplicativa:
.
Aqui usamos o fato de que qualquer número vezes 0 é igual a 0, o que segue pelo cancelamento a partir da equação
.
Em outras palavras,
,
então é o inverso aditivo de , ou seja, , como seria mostrado.
Quadrado de −1
O quadrado de −1, ou seja, −1 multiplicado por −1, é igual a 1. Como consequência, um produto de dois números negativos é positivo.
Para uma prova algébrica desse resultado, comece com a equação
.
A primeira igualdade decorre do resultado acima, e a segunda decorre da definição de −1 como inverso aditivo de 1: é precisamente esse número que quando adicionado a 1 dá 0. Agora, usando a lei distributiva, pode-se ver que
.
A terceira igualdade decorre do fato de que 1 é uma identidade multiplicativa. Mas agora adicionar 1 a ambos os lados desta última equação implica
.
Os argumentos acima mantêm em qualquer anel, um conceito de álgebra abstrata generalizando números inteiros e reais.
Raízes quadradas de −1
Embora não haja raízes quadradas reais de −1, o número complexo satisfaz e, como tal, pode ser considerado como uma raiz quadrada de −1. O único outro número complexo cujo quadrado é −1 é − porque existem exatamente duas raízes quadradas de qualquer número complexo diferente de zero, o que segue do teorema fundamental da álgebra. Na álgebra dos quatérnios – onde não se aplica o teorema fundamental – que contém os números complexos, a equação tem infinitas soluções.
Exponenciação a números inteiros negativos
A exponenciação de um número real diferente de zero pode ser estendida para números inteiros negativos. Definimos que , o que significa que definimos elevar um número à potência −1 para ter o mesmo efeito que elevar seu recíproco. Esta definição é então estendida para números inteiros negativos, preservando a lei exponencial para números reais e .
A exponenciação para números inteiros negativos pode ser estendida para elementos invertíveis de um anel, definindo como o inverso multiplicativo de .
Um −1 que aparece como um sobrescrito de uma função não significa tomar o recíproco (pontual) dessa função, mas sim a função inversa da função. Por exemplo, é uma notação para a função arcseno e, em geral, denota a função inversa de . Quando um subconjunto do contradomínio é especificado dentro da função, ele denota a pré-imagem desse subconjunto na função.
Usos
No desenvolvimento de software, –1 é um valor inicial comum para números inteiros e também é usado para mostrar que uma variável não contém informações úteis. −1 guarda relação com a identidade de Euler desde que .
Ver também
Teorema de Menelaus Ternário balanceado
Referências
Categoria:Números inteiros Categoria:Um