Na matemática, em particular na topologia algébrica e na geometria diferencial, as classes de Stiefel–Whitney são um conjunto de invariantes topológicos associados a um fibrado vetorial real que descrevem as obstruções à construção de seções linearmente independentes em todos os pontos do fibrado. As classes de Stiefel–Whitney são indexadas de 0 a , onde é o posto do fibrado vetorial. Se a classe de Stiefel–Whitney de índice for não nula, então não podem existir seções linearmente independentes em todos os pontos do fibrado. Uma -ésima classe de Stiefel–Whitney não nula indica que toda seção do fibrado deve se anular em algum ponto. Uma primeira classe de Stiefel–Whitney não nula indica que o fibrado vetorial não é orientável. Por exemplo, a primeira classe de Stiefel–Whitney da fita de Möbius, considerada como um fibrado de retas sobre o círculo, não é nula, ao passo que a primeira classe de Stiefel–Whitney do fibrado de retas trivial sobre o círculo, , é nula.

A classe de Stiefel–Whitney recebeu o nome de Eduard Stiefel e Hassler Whitney, constituindo um exemplo de classe característica com coeficientes em associada a fibrados vetoriais reais.

Na geometria algébrica, também é possível definir classes de Stiefel–Whitney análogas para fibrados vetoriais munidos de uma forma quadrática não degenerada, tomando valores em grupos de cohomologia étale ou na K-teoria de Milnor. Como caso particular, definem-se classes de Stiefel–Whitney para formas quadráticas sobre corpos, sendo os dois primeiros casos o discriminante e o invariante de Hasse–Witt.

Introdução

Apresentação geral Para um fibrado vetorial real , a classe de Stiefel–Whitney de é denotada por . Trata-se de um elemento do anel de cohomologia:

onde é o espaço base do fibrado , e (frequentemente denotado por ) é o anel comutativo cujos únicos elementos são 0 e 1. A componente de em é denotada por e denominada a -ésima classe de Stiefel–Whitney de . Assim:

,

onde cada é um elemento de .

A classe de Stiefel–Whitney é um invariante do fibrado vetorial real ; isto é, se for outro fibrado vetorial real com o mesmo espaço base que , e se for isomórfico a , então as classes de Stiefel–Whitney e são iguais. (Aqui, isomórfico significa que existe um isomorfismo de fibrados vetoriais que cobre a identidade .) Embora em geral seja difícil determinar se dois fibrados vetoriais reais e são isomórficos, as classes de Stiefel–Whitney e costumam ser calculadas com facilidade. Se elas forem distintas, conclui-se que e não são isomórficos.

Como exemplo, sobre o círculo , existe um fibrado de retas (isto é, um fibrado vetorial real de posto 1) que não é isomórfico ao fibrado trivial. Esse fibrado de retas corresponde à fita de Möbius (que é um fibrado fibrado cujas fibras podem ser dotadas de estruturas de espaço vetorial de tal forma que se torna um fibrado vetorial). O grupo de cohomologia possui apenas um elemento não nulo. Esse elemento é a primeira classe de Stiefel–Whitney de .Milnor & Stasheff (1974), Capítulo 4, Axioma 4 e Exemplo 2. Como o fibrado de retas trivial sobre possui primeira classe de Stiefel–Whitney nula, ele não é isomórfico a .

Dois fibrados vetoriais reais e que compartilham a mesma classe de Stiefel–Whitney não são necessariamente isomórficos. Isso ocorre, por exemplo, quando e são fibrados vetoriais reais triviais de postos distintos sobre o mesmo espaço base . Também pode ocorrer quando e possuem o mesmo posto: o fibrado tangente da 2-esfera e o fibrado vetorial real trivial de posto 2 sobre têm a mesma classe de Stiefel–Whitney, embora não sejam isomórficos. Contudo, se dois fibrados de retas reais sobre possuírem a mesma classe de Stiefel–Whitney, eles serão isomórficos.

Origens As classes de Stiefel–Whitney recebem esse nome porque Eduard Stiefel e Hassler Whitney as descobriram como reduções módulo 2 das classes de obstrução à construção de seções linearmente independentes em todos os pontos do fibrado vetorial restrito ao -esqueleto de . Aqui, denota a dimensão da fibra do fibrado vetorial .

Precisamente, supondo que seja um complexo CW, Whitney definiu classes no -ésimo grupo de cohomologia celular de com coeficientes torcidos, sendo o sistema de coeficientes o -ésimo grupo de homotopia da variedade de Stiefel de vetores linearmente independentes nas fibras de . Whitney demonstrou que se, e somente se, , quando restrito ao -esqueleto de , admite seções linearmente independentes.

Como é infinito cíclico ou isomórfico a , existe uma redução canônica das classes para classes , que são as classes de Stiefel–Whitney. Além disso, sempre que , as duas classes coincidem. Assim, se, e somente se, o fibrado for orientável.

A classe não contém informação geométrica adicional, pois é igual a 1 por definição. Sua introdução por Whitney foi um artifício de notação que viabilizou a validade universal da fórmula da soma de Whitney: .Milnor & Stasheff (1974), p. 40.Lawson & Michelsohn (1990), Equação (B.8).

Definições Ao longo deste artigo, denota a cohomologia singular de um espaço com coeficientes no grupo . O termo aplicação refere-se sempre a uma função contínua entre espaços topológicos.

Definição axiomática A classe característica de Stiefel–Whitney de um fibrado vetorial real de posto finito sobre um espaço base paracompacto é definida como a única classe que satisfaz os seguintes axiomas:

Normalização: A classe de Whitney do fibrado de retas tautológico sobre o espaço projetivo real é não trivial, isto é, .Hatcher (2017), Teorema 3.1. Posto: e, para , ; ou seja, .Milnor & Stasheff (1974), Capítulo 4, Axioma 1. Fórmula do produto de Whitney: , isto é, a classe de Whitney de uma soma direta é o produto cup das classes dos somandos. Naturalidade: para qualquer fibrado vetorial real e aplicação contínua , onde denota o fibrado induzido (pullback).Milnor & Stasheff (1974), Capítulo 4, Axioma 2.

A unicidade dessas classes é demonstrada, por exemplo, nas seções 17.2–17.6 de Husemoller ou na seção 8 de Milnor e Stasheff. Existem diversas demonstrações de existência por construções distintas, cuja coerência mútua é assegurada pelo teorema de unicidade.

Definição via grassmannianas infinitas

As grassmannianas infinitas e fibrados vetoriais Esta construção utiliza a noção de espaço classificador.

Para qualquer espaço vetorial , seja a variedade grassmanniana, o espaço dos subespaços lineares de dimensão de , denotando-se a grassmanniana infinita por:

.

Ela é munida do fibrado tautológico , um fibrado vetorial de posto definido como o subfibrado do fibrado trivial de fibra cuja fibra sobre um ponto é o subespaço representado por .

Seja uma aplicação contínua na grassmanniana infinita. Então, a menos de isomorfismo, o fibrado induzido pela aplicação sobre ,

,

depende unicamente da classe de homotopia da aplicação . A operação de indução define uma aplicação do conjunto

de aplicações módulo equivalência por homotopia, no conjunto

das classes de isomorfismo de fibrados vetoriais de posto sobre .

(Se for um espaço paracompacto, essa correspondência é uma bijeção, motivo pelo qual as grassmannianas infinitas são chamadas de espaços classificadores de fibrados vetoriais.)

Pelo axioma da naturalidade (4), tem-se . Basta, portanto, conhecer os valores de para todo . Como o anel de cohomologia é livre sobre geradores específicos provenientes da decomposição celular canônica, esses geradores coincidem precisamente com . Assim, para qualquer fibrado de posto , , onde é a aplicação classificadora associada, o que fornece uma prova construtiva da existência das classes de Stiefel–Whitney.

O caso dos fibrados de retas Restringindo a construção acima aos fibrados de retas, considera-se o conjunto dos fibrados de retas sobre . A grassmanniana de retas corresponde ao espaço projetivo infinito:

,

o qual admite como recobrimento duplo a esfera infinita tendo pontos antipodais como fibras. Como a esfera é contrátil, tem-se:

Logo, é o espaço de Eilenberg–MacLane .

Constitui propriedade dos espaços de Eilenberg–MacLane que

para qualquer , sendo o isomorfismo dado por , onde é o gerador de .

Aplicando o fato de que a correspondência é uma bijeção, obtém-se a bijeção:

,

a qual define a classe de Stiefel–Whitney para fibrados de retas.

O grupo dos fibrados de retas Considerando como um grupo sob a operação de produto tensorial, a aplicação classe de Stiefel–Whitney, , é um isomorfismo de grupos. Ou seja, para quaisquer fibrados de retas .

Por exemplo, como , existem apenas dois fibrados de retas sobre o círculo a menos de isomorfismo: o fibrado trivial e a fita de Möbius aberta (isto é, a fita de Möbius sem o seu bordo).

A mesma construção aplicada a fibrados vetoriais complexos mostra que a classe de Chern define uma bijeção entre fibrados de retas complexos sobre e , visto que o espaço classificador correspondente é . Esse isomorfismo é válido para fibrados de retas topológicos; a obstrução à injetividade da classe de Chern para fibrados vetoriais algébricos reside na variedade jacobiana.

Propriedades

Interpretação topológica do anulamento sempre que . Se admitir seções linearmente independentes em todos os pontos, então as classes de Whitney de grau mais alto se anulam: . A primeira classe de Stiefel–Whitney é nula se, e somente se, o fibrado for orientável. Em particular, uma variedade é orientável se, e somente se, . O fibrado admite uma estrutura spin se, e somente se, a primeira e a segunda classes de Stiefel–Whitney forem ambas nulas. Para um fibrado orientável, a segunda classe de Stiefel–Whitney pertence à imagem da aplicação canônica (equivalentemente, a chamada terceira classe de Stiefel–Whitney integral é nula) se, e somente se, o fibrado admitir uma estrutura . Todos os números de Stiefel–Whitney (ver abaixo) de uma variedade diferenciável compacta se anulam se, e somente se, a variedade for o bordo de alguma variedade diferenciável compacta não orientada. (Uma classe de Stiefel–Whitney pode ser não nula mesmo quando todos os números de Stiefel–Whitney se anulam).

Unicidade das classes de Stiefel–Whitney A bijeção estabelecida para fibrados de retas implica que qualquer functor que satisfaça os quatro axiomas acima coincide identicamente com ,Milnor & Stasheff (1974), Teorema 7.3. conforme a seguinte demonstração. O segundo axioma impõe . Para a aplicação de inclusão , o fibrado induzido é igual a . Assim, o primeiro e o terceiro axiomas fornecem:

.

Como a aplicação

é um isomorfismo, deduz-se que e . Seja um fibrado vetorial real de posto sobre um espaço . Pelo princípio da cisão, existe uma aplicação para algum espaço tal que é injetiva e para certos fibrados de retas . Qualquer fibrado de retas sobre é da forma para alguma aplicação , e:

,

por naturalidade. Portanto, sobre . Segue-se do quarto axioma que:

.

Sendo injetiva, conclui-se que . Logo, a classe de Stiefel–Whitney é o único functor que satisfaz os quatro axiomas.

Fibrados não isomórficos com as mesmas classes de Stiefel–Whitney Embora a aplicação seja uma bijeção, a aplicação correspondente não é necessariamente injetiva em dimensões superiores. Por exemplo, considere o fibrado tangente . Com a imersão canônica de em , o fibrado normal a é um fibrado de retas. Como é orientável, é trivial. A soma é a restrição de a , que é trivial visto que é contrátil. Portanto:

.

Contudo, para par, não é trivial; tem-se (onde denota a classe fundamental de e a característica de Euler), donde sua classe de Euler é não nula.

Invariantes relacionados

Números de Stiefel–Whitney