Em matemática, especificamente no cálculo das variações, uma variação de uma função pode ser concentrada em um intervalo arbitrariamente pequeno, mas não em um único ponto. Consequentemente, a condição necessária de extremo (derivada funcional igual a zero) aparece em uma formulação fraca (forma variacional) integrada com uma função arbitrária . O lema fundamental do cálculo das variações é tipicamente usado para transformar essa formulação fraca na formulação forte (equação diferencial), livre da integração com função arbitrária. A prova geralmente explora a possibilidade de escolher concentrada em um intervalo no qual mantém sinal (positivo ou negativo). Várias versões do lema estão em uso. Versões básicas são fáceis de formular e provar. Versões mais poderosas são usadas quando necessário.
Versão básica
Se uma função contínua em um intervalo aberto satisfaz a igualdade
para todas as funções com suporte compacto suaves em , então é identicamente nula.
Aqui "suave" pode ser interpretada como "infinitamente diferenciável", mas frequentemente é interpretada como "duas vezes continuamente diferenciável" ou "continuamente diferenciável" ou mesmo apenas "contínua", uma vez que essas afirmações mais fracas podem ser fortes o suficiente para uma dada tarefa. "Com suporte compacto" significa "se anula fora de para algum , tal que "; mas frequentemente uma afirmação mais fraca é suficiente, assumindo apenas que (ou e um número de suas derivadas) se anula nos extremos , ; neste caso, o intervalo fechado é usado.
Prova Suponha que para algum . Como é contínua, ela é não nula com o mesmo sinal para algum tal que . Sem perda de generalidade, suponha . Então tome um que seja positivo em e nulo em outro lugar, por exemplo
.
Note que esta função bump satisfaz as propriedades na afirmação, incluindo . Uma vez que
chegamos a uma contradição.Versão web:
Versão para duas funções dadas
Se um par de funções contínuas f, g em um intervalo (a,b) satisfaz a igualdade
para todas as funções suaves com suporte compacto h em (a,b), então g é diferenciável, e g''' = f em toda parte.
O caso especial para g = 0 é apenas a versão básica.
Aqui está o caso especial para f = 0 (frequentemente suficiente).
Se uma função contínua g em um intervalo (a,b) satisfaz a igualdade
para todas as funções suaves h em (a,b) tais que , então g é constante.Versão web:
Se, além disso, a diferenciabilidade contínua de g for assumida, então a integração por partes reduz ambas as afirmações à versão básica; este caso é atribuído a Joseph-Louis Lagrange, enquanto a prova da diferenciabilidade de g é devida a Paul du Bois-Reymond.
Versões para funções descontínuas
As funções dadas (f, g) podem ser descontínuas, desde que sejam localmente integráveis (no intervalo dado). Neste caso, a integração de Lebesgue é considerada, as conclusões valem quase em toda parte (assim, em todos os pontos de continuidade), e a diferenciabilidade de g é interpretada como absoluta continuidade local (em vez de diferenciabilidade contínua). Às vezes, as funções dadas são assumidas como contínuas por partes, caso em que a integração de Riemann é suficiente, e as conclusões são enunciadas em toda parte, exceto no conjunto finito de pontos de descontinuidade.
Derivadas superiores
Se uma tupla de funções contínuas em um intervalo (a,b) satisfaz a igualdade
para todas as funções suaves com suporte compacto h em (a,b), então existem funções continuamente diferenciáveis em (a,b) tais que
em toda parte.
Esta condição necessária também é suficiente, pois o integrando se torna
O caso n = 1 é apenas a versão para duas funções dadas, uma vez que e portanto,
Em contraste, o caso n=2 não leva à relação pois a função não precisa ser diferenciável duas vezes. A condição suficiente não é necessária. Em vez disso, a condição necessária e suficiente pode ser escrita como para n=2, para n=3, e assim por diante; em geral, os colchetes não podem ser abertos devido à não diferenciabilidade.
Funções com valores vetoriais
A generalização para funções com valores vetoriais é direta; aplica-se os resultados para funções escalares a cada coordenada separadamente, ou trata-se o caso com valores vetoriais desde o início.
Funções multivariáveis
Se uma função multivariável contínua f em um conjunto aberto satisfaz a igualdade
para todas as funções suaves com suporte compacto h em Ω, então f é identicamente nula.
Similarmente à versão básica, pode-se considerar uma função contínua f no fecho de Ω, assumindo que h se anula na fronteira de Ω (em vez de ter suporte compacto).; a prova se aplica em ambas as situações.
Aqui está uma versão para funções multivariáveis descontínuas.
Seja um conjunto aberto, e satisfaz a igualdade
para todas as funções suaves com suporte compacto h em Ω. Então f=0 (em L''2, ou seja, quase em toda parte).
Aplicações Este lema é usado para provar que extremos do funcional
são soluções fracas (para um espaço vetorial apropriado ) da equação de Euler–Lagrange
A equação de Euler–Lagrange desempenha um papel proeminente na mecânica clássica e na geometria diferencial.
Referências
Bibliografia
Categoria:Cálculo das variações Categoria:Teoremas