Na matemática, especificamente na geometria algébrica, um esquema é uma estrutura que amplia a noção de uma variedade algébrica de várias maneiras, como ao levar em conta as multiplicidades (as equações e definem a mesma variedade algébrica, mas esquemas diferentes) e ao permitir "variedades" definidas sobre qualquer anel comutativo (por exemplo, as curvas de Fermat são definidas sobre os inteiros).
A teoria dos esquemas foi introduzida por Alexander Grothendieck em 1960 em seu tratado Éléments de géométrie algébrique (EGA); um de seus objetivos era desenvolver o formalismo necessário para resolver problemas profundos da geometria algébrica, como as Conjecturas de Weil (a última das quais foi provada por Pierre Deligne).Introdução da primeira edição de "Éléments de géométrie algébrique". Fortemente baseada na álgebra comutativa, a teoria dos esquemas permite o uso sistemático de métodos da topologia e da álgebra homológica. A teoria dos esquemas também unifica a geometria algébrica com grande parte da teoria dos números, o que acabou levando à prova de Wiles do Último Teorema de Fermat.Os esquemas elaboram a ideia fundamental de que uma variedade algébrica é melhor analisada através do anel de coordenadas das funções algébricas regulares definidas nela (ou em seus subconjuntos), e que cada subvariedade corresponde ao ideal de funções que se anulam na subvariedade. Intuitivamente, um esquema é um espaço topológico consistindo em pontos fechados que correspondem a pontos geométricos, juntamente com pontos não fechados que são pontos genéricos de subvariedades irredutíveis. O espaço é coberto por um atlas de conjuntos abertos, cada um dotado de um anel de coordenadas de funções regulares, com mudanças de coordenadas especificadas entre as funções sobre conjuntos abertos que se interceptam. Tal estrutura é chamada de espaço anelado ou um feixe de anéis. Os casos de maior interesse são os esquemas noetherianos, nos quais os anéis de coordenadas são anéis noetherianos.
Formalmente, um esquema é um espaço anelado coberto por esquemas afins. Um esquema afim é o espectro de um anel comutativo; seus pontos são os ideais primos do anel, e seus pontos fechados são os ideais maximais. O anel de coordenadas de um esquema afim é o próprio anel, e os anéis de coordenadas de subconjuntos abertos são os anéis de frações.
O ponto de vista relativo postula que grande parte da geometria algébrica deve ser desenvolvida para um morfismo de esquemas (chamado de esquema sobre a base ), em vez de para um esquema individual. Por exemplo, ao estudar superfícies algébricas, pode ser útil considerar famílias de superfícies algébricas sobre qualquer esquema . Em muitos casos, a família de todas as variedades de um dado tipo pode, ela própria, ser vista como uma variedade ou esquema, conhecido como um espaço de moduli.
Para algumas das definições detalhadas na teoria de esquemas, consulte o glossário de geometria algébrica.
Desenvolvimento As origens da geometria algébrica baseiam-se majoritariamente no estudo de equações polinomiais sobre os números reais. No século XIX, ficou claro (notavelmente no trabalho de Jean-Victor Poncelet e Bernhard Riemann) que a geometria algébrica sobre os números reais é simplificada quando se trabalha sobre o corpo dos números complexos, o qual tem a vantagem de ser algebricamente fechado. O início do século XX viu analogias entre a geometria algébrica e a teoria dos números, sugerindo a questão: a geometria algébrica pode ser desenvolvida sobre outros corpos, como aqueles com característica positiva, e mais genericamente sobre anéis de números como os inteiros, onde as ferramentas da topologia e da análise complexa usadas para estudar variedades complexas não parecem se aplicar?
O Teorema dos zeros de Hilbert (Nullstellensatz) sugere uma abordagem para a geometria algébrica sobre qualquer corpo algebricamente fechado : os ideais maximais no anel de polinômios estão em correspondência biunívoca com o conjunto de -uplas de elementos de , e os ideais primos correspondem aos conjuntos algébricos irredutíveis em , conhecidos como variedades afins. Motivados por essas ideias, Emmy Noether e Wolfgang Krull desenvolveram a álgebra comutativa nas décadas de 1920 e 1930. O trabalho deles generalizou a geometria algébrica em uma direção puramente algébrica, generalizando o estudo de pontos (ideais maximais em um anel de polinômios) para o estudo de ideais primos em qualquer anel comutativo. Por exemplo, Krull definiu a dimensão de um anel comutativo em termos de ideais primos e, pelo menos quando o anel é noetheriano, ele provou que essa definição satisfaz muitas das propriedades intuitivas da dimensão geométrica.
A álgebra comutativa de Noether e Krull pode ser vista como uma abordagem algébrica às variedades algébricas afins. No entanto, muitos argumentos na geometria algébrica funcionam melhor para variedades projetivas, essencialmente porque são compactas. Das décadas de 1920 a 1940, B. L. van der Waerden, André Weil e Oscar Zariski aplicaram a álgebra comutativa como um novo alicerce para a geometria algébrica no cenário mais rico das variedades projetivas (ou quase-projetivas). Em particular, a topologia de Zariski é uma topologia útil em uma variedade sobre qualquer corpo algebricamente fechado, substituindo até certo ponto a topologia clássica em uma variedade complexa (baseada na topologia métrica dos números complexos).
Para aplicações à teoria dos números, van der Waerden e Weil formularam a geometria algébrica sobre qualquer corpo, não necessariamente algebricamente fechado. Weil foi o primeiro a definir uma variedade abstrata (não imersa num espaço projetivo), colando variedades afins ao longo de subconjuntos abertos, no modelo das variedades abstratas na topologia. Ele precisava dessa generalidade para a sua construção da variedade jacobiana de uma curva sobre qualquer corpo. (Mais tarde, Weil, Chow e Matsusaka mostraram que as jacobianas são variedades projetivas).
Os geômetras algébricos da escola italiana muitas vezes usaram o conceito um tanto nebuloso de ponto genérico de uma variedade algébrica. O que é verdadeiro para o ponto genérico é verdadeiro para a "maioria" dos pontos da variedade. Em Foundations of Algebraic Geometry (1946) de Weil, pontos genéricos são construídos tomando pontos num corpo algebricamente fechado muito grande, chamado de domínio universal. Isso funcionava de forma desajeitada: havia muitos pontos genéricos diferentes para a mesma variedade. (Na teoria posterior de esquemas, cada variedade algébrica tem um único ponto genérico).
Na década de 1950, Claude Chevalley, Masayoshi Nagata e Jean-Pierre Serre, motivados em parte pelas Conjecturas de Weil relacionando a teoria dos números e a geometria algébrica, estenderam ainda mais os objetos da geometria algébrica, por exemplo, generalizando os anéis base permitidos. A palavra esquema (schéma) foi usada pela primeira vez no Seminário Chevalley de 1956, no qual Chevalley desenvolveu as ideias de Zariski. De acordo com Pierre Cartier, foi André Martineau quem sugeriu a Serre a possibilidade de usar o espectro de um anel comutativo arbitrário como base para a geometria algébrica.
Origem dos esquemas A teoria assumiu sua forma definitiva no Éléments de géométrie algébrique (EGA) de Grothendieck e no posterior Séminaire de géométrie algébrique (SGA), levando a uma conclusão uma geração de sugestões experimentais e desenvolvimentos parciais. Grothendieck definiu o espectro de um anel comutativo como o espaço dos ideais primos de com uma topologia natural (conhecida como topologia de Zariski), mas o incrementou com um feixe de anéis: a cada subconjunto aberto ele atribuiu um anel comutativo , que pode ser pensado como o anel de coordenadas das funções regulares em . Estes objetos são os esquemas afins; um esquema geral é então obtido "colando" esquemas afins.
Grande parte da geometria algébrica se concentra em variedades projetivas ou quase-projetivas sobre um corpo , na maioria das vezes sobre os números complexos. Grothendieck desenvolveu um vasto corpo teórico para esquemas arbitrários, estendendo grande parte da intuição geométrica para variedades. Por exemplo, é comum construir um espaço de moduli primeiro como um esquema e só depois estudar se ele é um objeto mais concreto, como uma variedade projetiva. Aplicar a teoria de Grothendieck aos esquemas sobre os inteiros e outros corpos de números levou a novas e poderosas perspectivas na teoria dos números.
Definição Um esquema afim é um espaço localmente anelado isomorfo ao espectro de um anel comutativo . Um esquema é um espaço localmente anelado que admite uma cobertura por conjuntos abertos , de tal forma que cada (como um espaço localmente anelado) é um esquema afim. Em particular, vem com um feixe , que atribui a cada subconjunto aberto um anel comutativo chamado de anel das funções regulares sobre . Pode-se pensar em um esquema como sendo coberto por "cartas de coordenadas" que são esquemas afins. A definição significa exatamente que os esquemas são obtidos pela colagem de esquemas afins usando a topologia de Zariski.
Nos primeiros dias, isso era chamado de um pré-esquema, e um esquema era definido como sendo um pré-esquema separado. O termo pré-esquema caiu em desuso, mas ainda pode ser encontrado em livros mais antigos, como o "Éléments de géométrie algébrique" de Grothendieck e o "Red Book" de Mumford. As propriedades de feixe de significam que seus elementos, os quais não são necessariamente funções, podem, no entanto, ser montados a partir de suas restrições da mesma maneira que as funções.
Um exemplo básico de um esquema afim é o espaço afim de dimensão sobre um corpo , para um número natural . Por definição, é o espectro do anel de polinômios . No espírito da teoria dos esquemas, o espaço afim de dimensão pode de fato ser definido sobre qualquer anel comutativo , significando .
A categoria dos esquemas Os esquemas formam uma categoria, com morfismos definidos como morfismos de espaços localmente anelados. (Veja também: Morfismo de esquemas). Para um esquema , um esquema sobre (ou um esquema-) significa um morfismo de esquemas. Um esquema sobre um anel comutativo significa um morfismo .
Uma variedade algébrica sobre um corpo pode ser definida como um esquema sobre com certas propriedades. Existem diferentes convenções sobre exatamente quais esquemas devem ser chamados de variedades. Uma escolha padrão é que uma variedade sobre significa um esquema separado e íntegro de tipo finito sobre ..
Um morfismo de esquemas determina um homomorfismo de recuo (pullback) nos anéis de funções regulares, . No caso de esquemas afins, essa construção fornece uma correspondência biunívoca entre os morfismos de esquemas e os homomorfismos de anéis . Nesse sentido, a teoria dos esquemas subsume completamente a teoria dos anéis comutativos.
Visto que é um objeto inicial na categoria dos anéis comutativos, a categoria de esquemas tem como um objeto terminal.
Para um esquema sobre um anel comutativo , um -ponto de significa uma seção do morfismo . Escreve-se para o conjunto de -pontos de . Em exemplos, esta definição reconstrói a antiga noção do conjunto de soluções das equações definidoras de com valores em . Quando é um corpo , também é chamado de conjunto de pontos -racionais de .
Mais genericamente, para um esquema sobre um anel comutativo e qualquer -álgebra comutativa , um -ponto de significa um morfismo sobre . Escreve-se para o conjunto de -pontos de . (Isso generaliza a antiga observação de que dadas algumas equações sobre um corpo , pode-se considerar o conjunto de soluções das equações em qualquer extensão de corpo de ). Para um esquema sobre , a atribuição é um functor de -álgebras comutativas para conjuntos. É uma observação importante o fato de que um esquema sobre é determinado por este functor de pontos.