miniaturadaimagem|Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet. O teorema de Dirichlet, ocasionalmente também designado por teorema dos números primos de Dirichlet, em homenagem a Peter Gustav Lejeune Dirichlet, é uma proposição do ramo matemático da teoria dos números. Este afirma que uma progressão aritmética crescente contém infinitos números primos, desde que tal não seja impossível por razões triviais, como por exemplo em Uma progressão aritmética é uma sequência de números inteiros em que dois termos consecutivos têm sempre a mesma diferença, como por exemplo

De um modo muito geral, uma tal sequência para um número inteiro e um número natural é dada por

A sequência é considerada "trivial" no sentido do teorema de Dirichlet se e tiverem um divisor comum superior a . A primeira demonstração completa da proposição foi fornecida por Dirichlet no ano de 1837. Para tal, foram utilizados, pela primeira vez, métodos puramente analíticos para a obtenção de um teorema da teoria dos números. A conjectura sobre números primos em sequências aritméticas provém de Adrien-Marie Legendre, datada de 1798, que apresentou uma demonstração incorreta no seu manual de teoria dos números, conforme Dirichlet expôs. O teorema encontra aplicação dentro da teoria dos números, por exemplo, na demonstração do Teorema de Hasse-Minkowski.

No que diz respeito ao sistema decimal, o teorema afirma que existem infinitos números primos terminados em 1, 3, 7 e 9, respetivamente. Em termos mais gerais, pode-se afirmar o seguinte: se existem dois números primos distintos que terminam na mesma sequência de algarismos num sistema de numeração, então existem infinitos outros números primos que terminam nessa sequência de algarismos nesse sistema de numeração. Por exemplo, existem infinitos números primos que terminam nos algarismos 419. Os primeiros números primos com esta propriedade são e .

A demonstração de Dirichlet foi um passo importante para a fundamentação da teoria analítica dos números e conduziu ao estabelecimento das funções L de Dirichlet, dos caracteres de Dirichlet e da fórmula analítica do número de classe para corpos numéricos quadráticos. A introdução da função L ocorreu em analogia com a introdução da função zeta por Leonhard Euler na distribuição de números primos. De facto, Dirichlet conseguiu obter uma formulação um pouco mais forte do que a mera afirmação de infinitude, pois forneceu uma generalização do Teorema de Euler sobre números primos: se somarmos os inversos de todos os números primos na progressão aritmética em causa, o resultado é infinito. Esta afirmação implica a infinitude do respetivo conjunto de números primos, mas existem, em geral, sequências de números infinitamente longas cuja soma dos inversos é limitada. Para tal, Dirichlet demonstrou, como passo intermédio crucial, a não anulação das funções L de Dirichlet no ponto . Aqui, a importância do comportamento dos zeros das funções L sob a forma dos chamados teoremas de não anulação para a teoria dos números tornou-se manifesta pela primeira vez.

Com o passar do tempo, o teorema foi sendo cada vez mais aprimorado. Assim, por exemplo, o teorema dos números primos para progressões aritméticas estima o número exato de números primos numa sequência aritmética que não ultrapassam um limite superior. Uma das consequências é que, para uma escolha fixa de , existem sempre quantidades assintoticamente iguais de números primos em sequências diferentes. O termo de erro nesta distribuição de números primos descrita é o objeto do Teorema de Siegel-Walfisz, do Teorema de Bombieri-Vinogradov e da Conjectura de Elliott-Halberstam. Assumindo a hipótese generalizada de Riemann, este erro pode ainda ser melhorado de forma muito significativa.

Uma generalização deste é o Teorema de densidade de Chebotarev. Notação As seguintes notações são utilizadas ao longo de todo o artigo:

, , , e denotam os números naturais, inteiros, racionais, reais e complexos, respetivamente. A notação para a limitação assintótica através dos símbolos de Landau: significa que (sendo, na maioria das vezes, ). De forma análoga, utiliza-se com . Adicionalmente, significa mesmo que . Nisto, designa o limite superior. Por fim, para significa

O símbolo significa que se aproxima do valor 1 sob a condição e chega arbitrariamente perto deste, por exemplo, através de Ao longo do texto, e denotam a parte real e a parte imaginária do número complexo , respetivamente. Como é habitual, é de forma consistente o logaritmo natural de , e é a função exponencial natural. designa o Logaritmo integral e a função de contagem de números primos. Mais genericamente, é a quantidade de todos os números primos tais que seja divisível por . Se o número divide o número , isto é denotado com . A notação significa que , ou seja, que divide o número ; ver também Aritmética modular.

denota a Função zeta de Riemann. Além disso, escreve-se com e reais. denota a Função totiente de Euler. denota o sinal de somatório e o sinal de produtório.

Enunciado do teorema

Números primos

miniaturadaimagem|Os números compostos podem ser expressos por "retângulos" autênticos (vermelho), enquanto que para os números primos apenas é possível uma simples disposição em linha (azul) No centro da Teoria dos números, o ramo da matemática que se dedica às propriedades dos números naturais 1, 2, 3, 4, ..., encontram-se os números primos 2, 3, 5, 7, 11, ... Estes distinguem-se pela propriedade de terem exatamente dois divisores, nomeadamente o 1 e eles próprios. O 1 não é um número primo. Os números primos constituem, de certa forma, os átomos dos números inteiros, uma vez que qualquer número inteiro positivo pode ser decomposto de forma multiplicativa única nestes números. Este resultado também é conhecido como o Teorema fundamental da aritmética. Por exemplo, aplica-se e .

Apesar da sua definição simples, após vários milénios de história da matemática, até aos dias de hoje não é conhecido nenhum padrão a que os números primos se submetam na sua sequência. A sua natureza é uma das questões em aberto mais importantes da matemática. Na matemática moderna, contudo, existem conjecturas profundas que classificam o comportamento dos números primos como pseudoaleatório e vislumbram ligações à Física quântica. Todas estas proposições inserem-se no âmbito da Hipótese de Riemann.

O teorema de Dirichlet Uma progressão aritmética é uma sequência de números inteiros na qual a diferença entre dois números consecutivos é constante. Alguns exemplos são

ou também

O teorema de Dirichlet afirma que uma progressão aritmética contém sempre infinitos números primos, a não ser que tal seja impossível por razões triviais. Na sua versão mais simples, o teorema enuncia:

Seja um número natural e um número natural coprimo com . Então, a progressão aritmética contém infinitos números primos.

Formulado de outra maneira: Existem infinitos números primos que são congruentes com módulo . Nisto, a condição de serem coprimos (primos entre si) é necessária. Se e não fossem coprimos e fosse um divisor comum, então cada termo da sequência seria divisível por ; no entanto, dois números primos distintos não podem ser ambos divisíveis por . O facto de a condição de e serem coprimos não ser apenas necessária para a existência de infinitos números primos na respetiva sequência, mas também ser suficiente, constitui exatamente o enunciado do teorema de Dirichlet. Dirichlet conseguiu demonstrar algo ainda mais profundo. Trata-se de uma generalização direta do teorema de Euler sobre números primos. Aplica-se com as condições acima:

miniaturadaimagem|Ilustração da soma dos inversos de todas as potências de dois Esta afirmação é mais forte do que a versão acima. Isto porque, evidentemente, a divergência da série implica a infinidade de números primos na sequência aritmética afetada. Existem, contudo, sequências infinitas cuja soma dos inversos permanece limitada. Um exemplo são os quadrados perfeitos (ver Problema de Basileia), e adicionalmente as potências de dois, para as quais se verifica

Assim, a versão reforçada do teorema de Dirichlet estipula que os números primos, nas progressões aritméticas relevantes, estão distribuídos de forma "densa", por assim dizer, entre os números naturais.

Exemplos Do teorema de Dirichlet deduz-se, por exemplo, que infinitos números primos terminam nos algarismos 1, 3, 7 ou 9. Mais genericamente, existem infinitos números primos cujos últimos algarismos terminam em 37, 113, 419 ou 567241. Os primeiros números primos terminados em 419 são . Verifica-se ainda

Razões triviais para a não aplicação do teorema verificam-se quando e não são coprimos. Nesse caso, existe um número inteiro que divide tanto como . Consequentemente, divide todos os números com natural e, portanto, esta sequência contém no máximo (uma vez) o número primo , caso seja sequer primo. Por exemplo, e não são coprimos. De facto, todos os números da progressão

são divisíveis por . Assim, ela não contém um único número primo.

De forma trivial, o teorema de Dirichlet implica o Teorema de Euclides, que afirma existirem infinitos números primos. Se definirmos, por exemplo, , o teorema estabelece que a progressão

contém infinitos números primos.

História A história das descobertas matemáticas sobre a distribuição dos números primos remonta à Antiguidade. Já Euclides tinha reconhecido que existem infinitos números primos. O seu resultado é designado por Teorema de Euclides. A partir do século XVIII, iniciou-se o aprofundamento quantitativo deste resultado qualitativo. Neste processo, métodos da Análise desempenharam um papel cada vez mais importante, métodos esses que os antigos gregos ainda não tinham à sua disposição.

Uma descoberta de Euler

miniaturadaimagem|Leonhard Euler (1753) As descobertas de Leonhard Euler sobre os números primos foram um marco para a transição que se avizinhava de uma teoria dos números elementar, inserida na tradição dos antigos gregos, para uma forma moderna. No ano de 1737, durante o seu primeiro período em São Petersburgo, Euler investigou uma abordagem inovadora aos números primos e descobriu que eles estão espalhados "de forma relativamente densa" entre os números naturais. Mais precisamente, ele provou

Se, portanto, se somarem consecutivamente os inversos dos números primos, qualquer limite superior, por maior que seja, acabará por ser ultrapassado. Isto demonstra que os números primos estão espalhados de forma tendencialmente "densa" entre os números naturais; por exemplo, mais "densos" do que os quadrados perfeitos,Harold M. Edwards: Riemann’s Zeta Function. Dover, p. 1. visto que Euler também demonstrou

Os quadrados perfeitos crescem, portanto, a longo prazo, suficientemente rápido para que a soma dos seus inversos não ultrapasse o valor finito de 1,645. Euler não dispunha, na sua época, da linguagem matemática necessária para interpretar de forma precisa este refinamento do teorema euclidiano, e não há provas de que ele se tenha debruçado sobre proposições exatas referentes à distribuição de números primos.Harold M. Edwards: Riemann’s Zeta Function. Dover, p. 2.

A estratégia de demonstração de Euler para utiliza o chamado Produto de Euler. Nisto, a decomposição única de números naturais em fatores primos desempenha um papel fundamental. O Produto de Euler está relacionado com um objeto que é utilizado na investigação dos números primos até aos dias de hoje e que é conhecido na matemática moderna como a Função zeta de Riemann. A função zeta desempenha igualmente um papel central na Hipótese de Riemann. O feito inovador consistiu em abordar questões sobre números primos de forma sistemática através de relações funcionais entre números. É por essa razão que Euler é considerado o iniciador da Teoria analítica dos números.Jörg Brüdern: Einführung in die analytische Zahlentheorie. Springer Verlag, p. 4.