thumb|Na topologia de Zariski sobre o plano afim, este gráfico de um polinômio é fechado.
Na geometria algébrica e na álgebra comutativa, a topologia de Zariski é uma topologia definida sobre objetos geométricos chamados variedades. Ela é muito diferente das topologias que são comumente usadas na análise real ou complexa; em particular, ela não é de Hausdorff. Esta topologia foi introduzida primeiramente por Oscar Zariski e posteriormente generalizada para fazer do conjunto de ideais primos de um anel comutativo (chamado de espectro do anel) um espaço topológico.
A topologia de Zariski permite que ferramentas da topologia sejam usadas para estudar variedades algébricas, mesmo quando o corpo subjacente não é um corpo topológico. Esta é uma das ideias básicas da teoria dos esquemas, que permite construir variedades algébricas gerais colando variedades afins de uma maneira semelhante à da teoria das variedades, onde as variedades são construídas colando cartas, que são subconjuntos abertos de espaços afins reais.
A topologia de Zariski de uma variedade algébrica é a topologia cujos conjuntos fechados são os subconjuntos algébricos da variedade. No caso de uma variedade algébrica sobre os números complexos, a topologia de Zariski é, portanto, mais grossa que a topologia usual, uma vez que todo conjunto algébrico é fechado para a topologia usual.
A generalização da topologia de Zariski para o conjunto de ideais primos de um anel comutativo segue do Teorema dos zeros de Hilbert (Nullstellensatz), que estabelece uma correspondência bijetiva entre os pontos de uma variedade afim definida sobre um corpo algebricamente fechado e os ideais maximais do anel de suas funções regulares. Isso sugere definir a topologia de Zariski no conjunto dos ideais maximais de um anel comutativo como a topologia tal que um conjunto de ideais maximais é fechado se, e somente se, for o conjunto de todos os ideais maximais que contêm um dado ideal. Outra ideia básica da teoria dos esquemas de Grothendieck é considerar como pontos não apenas os pontos usuais correspondentes a ideais maximais, mas também todas as variedades algébricas (irredutíveis), que correspondem a ideais primos. Assim, a topologia de Zariski no conjunto de ideais primos (espectro) de um anel comutativo é a topologia tal que um conjunto de ideais primos é fechado se, e somente se, for o conjunto de todos os ideais primos que contêm um ideal fixo.
Topologia de Zariski em variedades Na geometria algébrica clássica (isto é, a parte da geometria algébrica na qual não se usam esquemas, que foram introduzidos por Grothendieck por volta de 1960), a topologia de Zariski é definida em variedades algébricas. A topologia de Zariski, definida nos pontos da variedade, é a topologia na qual os conjuntos fechados são os subconjuntos algébricos da variedade. Como as variedades algébricas mais elementares são as afins e as projetivas, é útil tornar esta definição mais explícita em ambos os casos. Assumimos que estamos trabalhando sobre um corpo algebricamente fechado fixo (na geometria algébrica clássica, é geralmente o corpo dos números complexos).
Variedades afins Primeiro, definimos a topologia no espaço afim formado pelas -uplas de elementos de . A topologia é definida especificando seus conjuntos fechados, em vez de seus conjuntos abertos, e estes são tomados simplesmente como sendo todos os conjuntos algébricos em Ou seja, os conjuntos fechados são aqueles da forma
onde é qualquer conjunto de polinômios em variáveis sobre . É uma verificação direta mostrar que:
, onde é o ideal gerado pelos elementos de ; Para quaisquer dois ideais de polinômios , , temos
Segue-se que uniões finitas e interseções arbitrárias dos conjuntos também têm essa forma, de modo que esses conjuntos formam os conjuntos fechados de uma topologia. Escrevendo , os conjuntos são conjuntos abertos, conhecidos como os conjuntos abertos principais (ou distinguidos), que formam uma base para a topologia. Esta é a topologia de Zariski em
Se for um conjunto algébrico afim (irredutível ou não), então a topologia de Zariski sobre ele é definida simplesmente como a topologia de subespaço induzida por sua inclusão em algum Equivalentemente, pode-se verificar que:
Os elementos do anel de coordenadas afim atuam como funções em da mesma forma que os elementos de atuam como funções em ; aqui, é o ideal de todos os polinômios que se anulam em . Para qualquer conjunto de polinômios , seja o conjunto de suas imagens em . Então o subconjunto de (estas notações não são padrão) é igual à interseção de com .
Isso estabelece que a equação acima, claramente uma generalização da definição dos conjuntos fechados em dada anteriormente, define a topologia de Zariski em qualquer variedade afim.
Variedades projetivas Lembre-se de que o espaço projetivo de dimensão , , é definido como o conjunto de classes de equivalência de pontos não nulos em identificando dois pontos que diferem por um múltiplo escalar em . Os elementos do anel de polinômios geralmente não são funções em porque qualquer ponto tem muitos representantes que produzem valores diferentes em um polinômio; no entanto, para polinômios homogêneos, a condição de ter valor zero ou não zero em qualquer ponto projetivo dado é bem definida, uma vez que o múltiplo escalar pode ser fatorado para fora do polinômio. Portanto, se for qualquer conjunto de polinômios homogêneos, podemos razoavelmente falar de
Os mesmos fatos citados acima podem ser estabelecidos para esses conjuntos, exceto que a palavra "ideal" deve ser substituída pela frase "ideal homogêneo", de modo que os , para conjuntos de polinômios homogêneos, definem uma topologia em Como acima, os complementos desses conjuntos são denotados por , ou, se houver probabilidade de confusão, .
A topologia de Zariski projetiva é definida para conjuntos algébricos projetivos da mesma forma que a afim é definida para conjuntos algébricos afins, tomando a topologia de subespaço. De forma análoga, pode-se mostrar que esta topologia é definida intrinsecamente por conjuntos de elementos do anel de coordenadas projetivas, pela mesma fórmula apresentada acima.
Propriedades
Uma propriedade importante das topologias de Zariski é que elas têm uma base que consiste em elementos simples, a saber, os para polinômios individuais (ou, no caso de variedades projetivas, polinômios homogêneos) . O fato de que estes formam uma base decorre da fórmula para a interseção de dois conjuntos fechados de Zariski fornecida acima (aplicando-a repetidamente aos ideais principais gerados pelos geradores de ). Os conjuntos abertos nesta base são chamados de conjuntos abertos distinguidos ou básicos. A importância desta propriedade resulta, em particular, de seu uso na definição de um esquema afim.
Pelo Teorema da base de Hilbert e pelo fato de que anéis noetherianos são fechados sob quocientes, todo anel de coordenadas afim ou projetivo é noetheriano. Como consequência, espaços afins ou projetivos com a topologia de Zariski são espaços topológicos noetherianos, o que implica que qualquer subconjunto fechado desses espaços é compacto.
No entanto, com exceção dos conjuntos algébricos finitos, nenhum conjunto algébrico jamais será um espaço de Hausdorff. Na literatura topológica antiga, considerava-se que "compacto" incluía a propriedade de Hausdorff, e essa convenção ainda é honrada na geometria algébrica; portanto, a compacidade no sentido moderno é chamada de "quase-compacidade" na geometria algébrica. Contudo, uma vez que todo ponto é o conjunto de zeros dos polinômios , os pontos são fechados e, portanto, toda variedade satisfaz o axioma T1.
Toda aplicação regular de variedades é contínua na topologia de Zariski. De fato, a topologia de Zariski é a topologia mais fraca (com o menor número de conjuntos abertos) na qual isso é verdade e na qual os pontos são fechados. Isso é facilmente verificado notando-se que os conjuntos fechados de Zariski são simplesmente as interseções das imagens inversas de 0 pelas funções polinomiais, consideradas como aplicações regulares em
Espectro de um anel Na geometria algébrica moderna, uma variedade algébrica é frequentemente representada por seu esquema associado, que é um espaço topológico (equipado com estruturas adicionais) que é localmente homeomorfo ao espectro de um anel. O espectro de um anel comutativo , denotado , é o conjunto dos ideais primos de , equipado com a topologia de Zariski, para a qual os conjuntos fechados são os conjuntos
onde é um ideal. Novamente escrevendo , os conjuntos abertos distinguidos (ou abertos principais ou abertos básicos) de são os conjuntos para os elementos . Estes conjuntos formam uma base para a topologia de Zariski.
Para ver a conexão com o quadro clássico, note que para qualquer conjunto de polinômios (sobre um corpo algebricamente fechado), segue-se do Teorema dos zeros de Hilbert (Nullstellensatz) que os pontos de (no sentido antigo) são exatamente as uplas tais que o ideal gerado pelos polinômios contém ; além disso, estes são ideais maximais e, pelo Nullstellensatz "fraco", um ideal de qualquer anel de coordenadas afim é maximal se, e somente se, for desta forma. Assim, é "o mesmo que" os ideais maximais que contêm . Para ser um pouco mais explícito, seja o espectro maximal de um anel comutativo , o conjunto de seus ideais maximais, e seja um corpo algebricamente fechado. Se for um ideal, então sob a definição clássica de , existem correspondências biunívocas
dadas por
para , onde são as imagens de sob a projeção natural . Se for um ideal radical, então é o anel de coordenadas de , que pode ser considerado como o anel de funções polinomiais , as funções regulares globais em .
A inovação de Grothendieck na definição de Spec para anéis comutativos gerais foi substituir os ideais maximais por todos os ideais primos; nesta formulação, é natural simplesmente generalizar a correspondência entre o conjunto fechado no espaço afim e o subconjunto do espectro maximal do anel de polinômios que contém para a definição de um conjunto fechado no espectro (primo) de um anel no caso comutativo geral.
Em outra abordagem, primeiro observamos que podemos reinterpretar um polinômio ( novamente algebricamente fechado) como uma função
mapeando
onde é o ponto ao qual corresponde por meio do Nullstellensatz fraco. Em outras palavras, mapeamos o ideal para avaliado em . Podemos então considerar um elemento do anel de polinômios como uma função sobre os ideais maximais do anel de polinômios. Além disso, observamos que
ou, generalizando para um ideal , . Podemos, portanto, visualizar como o conjunto comum de "pontos" no qual todas as "funções" (mais precisamente, ) se anulam.
Generalizando essa abordagem para anéis comutativos arbitrários, outra forma de interpretar a definição moderna (talvez mais semelhante à original) é perceber que os elementos de podem ser pensados como funções sobre seus ideais primos, . De forma simples, qualquer ideal primo tem um corpo residual correspondente, que é o corpo de frações do quociente , e qualquer elemento de tem uma imagem neste corpo residual. Além disso, os elementos que estão efetivamente em são precisamente aqueles cuja imagem se anula em . Então, se pensarmos no mapa associado a qualquer elemento de :
("avaliação de "), que atribui a cada ideal primo a imagem de no corpo residual de , como uma função sobre (cujos valores, é verdade, podem residir em corpos diferentes em pontos diferentes), então temos