Em álgebra linear, uma base composta pelos vetores de um espaço vetorial é ortonormal se, além de ser uma base ortogonal, seus vetores forem unitários.Espaços EuclidianosCurso de Álgebra Linear - Fundamentos e Aplicações, p.139, p.140http://www.mat.puc-rio.br/cursos/MAT1200/roteiros/aula22091.pdf Ser ortogonal significa que o produto interno entre pares de vetores distintos dessa base são igual a zero, ou seja,
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Ademais, estar normalizado significa que os vetores da base são todos unitários, ou seja,
para .
Essas duas definições podem ser condensadas assim:
, onde
Normalização
Para transformar uma base ortogonal qualquer em ortonormal, basta fazer com que o conjunto de seus vetores tenham módulo igual a 1. Se a base é composta por , pode-se realizar isso por meio da divisão de cada vetor pelo seu respectivo módulo, um processo nomeado normalização. Em outras palavras:
para
em que indica que este é um vetor unitário. A nova base composta por será então uma base ortonormal.
Exemplo 1
Dada a base ortogonal composta pelos vetores e , determine uma base ortonormal que gere o mesmo espaço vetorial.
Ao realizar o produto interno entre pares de vetores distintos, verifica-se que a base é de fato ortogonal. Para torná-la ortonormal, deve-se dividir cada vetor pelo seu módulo:
Os vetores e formam, então, uma base ortonormal. Essa é a base canônica em .
Exemplo 2
Dado o conjunto formado pelos vetores e , encontre uma base ortonormal que gere o mesmo espaço.
Realizando o produto interno entre os dois vetores, verifica-se a ortogonalidade entre eles. Agora, é necessário torná-los unitários:
Logo, e compõem uma base ortonormal.
Ver também
Base ortogonal Matriz normal Processo de Gram-Schmidt Vetor unitário
Bibliografia
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Ligações externas
Categoria:Cálculo vetorial