miniatura|alt=Um caminho do processo de Wiener (azul) e de uma integral estocástica calculada a partir dele (verde)|Um caminho do processo de Wiener (azul) e de uma integral estocástica calculada a partir dele (verde)

A análise estocástica é um ramo da matemática, mais precisamente da teoria das probabilidades. Ela trata da generalização de conceitos, enunciados e modelos da análise para processos estocásticos, ou seja, funções cujos valores são aleatórios. No centro da análise estocástica estão a formulação e o estudo de integrais estocásticas e, com base nelas, de equações diferenciais estocásticas.

Historicamente, o campo remonta aos trabalhos do matemático japonês Kiyoshi Itō a partir de 1944. O impulso essencial foi a descrição matemática do fenômeno físico do movimento browniano por Albert Einstein e Norbert Wiener. Esse modelo, o processo de Wiener, com suas inúmeras propriedades notáveis e generalizações, constitui um ponto de partida da análise estocástica. Aplicações da área são encontradas, entre outras, na biologia, na física e nas engenharias, mas principalmente na matemática financeira. Um primeiro destaque foi o modelo inovador de Black-Scholes, publicado em 1973, para a avaliação de opções sobre uma ação, cuja evolução de preço é descrita por uma equação diferencial estocástica.

Introdução

Os conceitos da análise estocástica tornam-se particularmente elementares e claros em sua principal área de aplicação, a matemática financeira. Para isso, descrevem-se a seguir os processos de negociação com um instrumento financeiro, que por simplicidade será chamado de ação e satisfará algumas hipóteses idealizadas. Em particular, deve ser possível comprar e vender o instrumento financeiro a qualquer momento e em quantidades arbitrárias.

Do ganho de capital na negociação de ações à integral estocástica

O ganho (ou perda) na posse de ações durante um determinado período depende, de forma óbvia, de quantas ações se possui e de como seu preço, a cotação, varia nesse período. Se, por exemplo, se possui ações com preço inicial e a cotação sobe, por exemplo, em um dia, para , então o ganho de capital é, aproximadamente, . Após esse dia, poderiam ser compradas ou vendidas mais ações, de modo que agora se tenha ações, por exemplo , se for comprada mais uma ação inteira. Se, em seguida, a cotação cair até o dia seguinte para , o ganho total nos dois dias pode ser determinado por . Assim, no período considerado, ocorreu um ganho negativo, ou seja, uma perda. Em geral, o ganho total após intervalos de tempo é a soma dos ganhos parciais de cada intervalo: . Aqui, denota a variação da cotação no -ésimo intervalo e indica quantas ações o acionista possui nesse período.

A análise entra em jogo nessas considerações elementares quando não se considera mais apenas uma sequência de momentos discretos de negociação, mas todos os instantes de um intervalo de tempo . Uma ação tem uma cotação em todo instante , que em geral “muda continuamente”. As quantidades mantidas também podem ser vistas, de forma idealizada, como um processo que varia continuamente, o chamado processo de carteira. O ganho total durante o intervalo não pode mais ser determinado pela simples soma de um número finito de ganhos parciais, como mostrado acima. Ele é obtido, em vez disso, pela integração do processo de carteira ponderado pelas variações da cotação, escrito como . Uma tarefa fundamental da análise estocástica é definir matematicamente tais integrais estocásticas para integrandos e integradores tão gerais quanto possível e estudar suas propriedades.

De um modelo para o preço das ações a equações diferenciais estocásticas

As considerações que levam à representação do ganho como uma integral estocástica são tão gerais que podem ser aplicadas, mutatis mutandis, a quaisquer grandezas que variem no tempo. No exemplo concreto da negociação de ações, surge, portanto, a questão de como poderia ser um modelo matemático para a evolução temporal da cotação . As trajetórias reais das cotações parecem se mover “aleatoriamente” para cima e para baixo. Do ponto de vista matemático, é natural modelar cada como uma variável aleatória, ou seja, uma função que associa a cada resultado de um (abstrato) experimento aleatório o valor . A cotação da ação depende então tanto do instante quanto do resultado aleatório : é um processo estocástico.

miniatura|O índice australiano All Ordinaries mostra, no período de 1875 a 2013, um acentuado crescimento exponencial. Em escala logarítmica, segue aproximadamente uma reta. Na realidade, embora as cotações pareçam aleatórias, não são totalmente desordenadas. Em períodos mais longos, trajetórias “não perturbadas” apresentam frequentemente uma tendência de crescimento exponencial, ou seja, sobem, por exemplo, alguns por cento ao ano. Isso se torna geralmente ainda mais evidente em índices acionários, nos quais se faz a média de várias cotações individuais, como – de forma particularmente acentuada – no gráfico ao lado do índice australiano All Ordinaries. Um crescimento exponencial totalmente não perturbado de significaria que a variação em um curto intervalo é proporcional a e a :

com uma taxa de crescimento . No caso de uma poupança, isso corresponderia ao crescimento exponencial por meio de juros compostos. No caso das ações, no entanto, essa lei de crescimento é claramente sobreposta por um movimento aleatório complicado. A estatística e a teoria das probabilidades sugerem, para perturbações aleatórias que se compõem de muitas pequenas variações individuais, partir de uma distribuição normal como modelo mais simples. Além disso, verifica-se que a variância das perturbações é proporcional ao período considerado . O processo de Wiener possui todas essas propriedades desejadas, sendo, portanto, adequado como modelo para a evolução temporal da componente aleatória da cotação. No geral, essas considerações levam à seguinte equação modelo para a variação em um intervalo :

.

Aqui, denota a variação do processo de Wiener no período considerado e uma constante de proporcionalidade que modela o quanto a componente aleatória afeta a variação da cotação, a chamada volatilidade.

miniatura|Um caminho possível de uma solução da equação diferencial estocástica para a modelagem da cotação de ações O procedimento seguinte da análise clássica seria fazer o intervalo de tempo tender a zero e obter assim uma equação diferencial ordinária para a função procurada. Isso não é possível dessa forma, pois se verifica que nem os caminhos do processo de Wiener nem os do processo de cotação procurado são diferenciáveis, não podendo, portanto, ser investigados pelo cálculo diferencial clássico. Em vez disso, obtém-se uma equação diferencial estocástica, geralmente escrita na forma . Os diferenciais usados são apenas um componente notacional, e cabe à análise estocástica dar sentido matemático a tais equações. Isso é possível observando que, devido ao teorema fundamental do cálculo, relações entre uma função diferenciável e sua derivada também podem ser escritas por meio de sua integral. Assim, uma equação diferencial estocástica é apenas uma notação intuitiva de uma equação integral com uma integral estocástica. A análise estocástica trata, entre outras coisas, das questões sob quais condições as equações diferenciais estocásticas têm solução única e quais propriedades analíticas e probabilísticas essas soluções possuem. Para alguns tipos simples de equações diferenciais estocásticas, existem métodos para calcular as soluções explicitamente. Por exemplo, a equação acima para a cotação tem como solução o chamado movimento browniano geométrico. No entanto, como já acontece com as equações diferenciais ordinárias, para muitas equações diferenciais estocásticas as soluções só podem ser calculadas numericamente.

História

Os primórdios: modelos matemáticos para o movimento browniano

miniatura|Movimento browniano das gotículas de gordura no leite Como movimento browniano designa-se o fenômeno físico em que pequenas partículas suspensas em um líquido ou gás se movem de forma irregular e aparentemente aleatória. É assim chamado em homenagem ao botânico Robert Brown, que o observou e descreveu pela primeira vez em 1827 ao examinar microscopicamente grãos de pólen em uma gota de água. Experiências subsequentes mostraram que a causa física do movimento browniano está no movimento térmico das moléculas do líquido. Essas moléculas colidem constantemente com as partículas muito maiores, colocando-as elas mesmas em movimento irregular.

Uma aplicação inicial do movimento browniano à matemática financeira, pouco notada cientificamente na época, foi estudada pelo matemático francês Louis Bachelier, que em 1900 tentou modelar as cotações da Bolsa de Paris com a ajuda de movimentos aleatórios e, assim, deduzir fórmulas de preço para opções. Com isso, ele antecipou inúmeras ideias do famoso modelo de Black-Scholes, apresentado apenas 73 anos depois.

miniatura|Albert Einstein, 1905 O movimento browniano voltou à atenção da comunidade científica quando Albert Einstein apresentou, em 1905, ou seja, em seu annus mirabilis, um modelo matemático para o fenômeno físico. Ele supôs que o movimento browniano, na linguagem moderna, é um processo estocástico com caminhos contínuos e incrementos independentes com distribuição normal, satisfazendo, portanto, condições fundamentais e, do ponto de vista físico, razoáveis. No entanto, ele não impôs outras condições igualmente necessárias, principalmente a de que uma partícula só pode percorrer uma distância finita em um período fixo, a chamada retificabilidade dos caminhos. Como a fundamentação teórico-medida da teoria das probabilidades por Émile Borel e Henri Lebesgue estava apenas começando em 1905, Einstein não pôde provar que seu modelo realmente existia como um objeto matemático.

Uma construção matemática do modelo de Einstein só foi alcançada em 1923 pelo matemático americano Norbert Wiener. Ele usou uma abordagem à teoria da medida desenvolvida em 1913 por Percy John Daniell, bem como a teoria das séries de Fourier. Ao investigar as propriedades desse modelo, que mais tarde recebeu seu nome (processo de Wiener), mostrou-se que seus caminhos não são retificáveis. Assim, verificou-se retrospectivamente que Einstein havia escolhido exatamente as propriedades “corretas” em seu modelo; com a suposição adicional de retificabilidade, ele não teria existido matematicamente.

Em 1931, o matemático soviético Andrei Nikolaevich Kolmogorov encontrou uma maneira de investigar processos estocásticos com o auxílio da análise. Ele considerou generalizações do processo de Wiener, chamadas processos de Markov, e desenvolveu uma teoria para sua descrição. Ele mostrou que esses processos podem ser decompostos em um termo de deriva não aleatório e uma componente puramente estocástica. Assim, Kolmogorov estabeleceu uma relação entre suas distribuições de probabilidade e certas equações diferenciais parciais, as equações de Kolmogorov. Ele usou métodos da análise clássica; uma generalização do cálculo integral e diferencial para uma “análise estocástica” ainda não estava presente em seu trabalho.

A abordagem de Itō e o desenvolvimento posterior

miniatura|Kiyoshi Itō, 1970