thumb|350px|Diagrama mostrando uma série geométrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ que converge para 2. Uma progressão geométrica (abreviada como P.G.) é uma sequência numérica na qual cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante, chamada de razão da progressão geométrica. A razão é indicada geralmente pela letra (inicial da palavra "quociente").
Alguns exemplos de progressão geométrica:
, em que e ; , em que e ; , em que e ; , em que e ; , em que e .
Termo geral
Costuma-se denotar por o n-ésimo termo de uma progressão geométrica. Assim, a progressão fica totalmente definida pelo valor de seu termo inicial e sua razão q.
A sucessão dos termos é obtida por recursão:
Podemos demonstrar por indução matemática que:
De modo geral, o n-ésimo termo pode ser calculado a partir do m-ésimo termo simplesmente por:
Soma dos termos de uma P.G.
A soma dos termos de uma P.G., a partir do primeiro, é definida por
.
Caso a soma pode ser descrita pela seguinte fórmula:
.
Demonstração
Essa fórmula pode ser explicada dessa maneira:
Multiplica-se pela razão
Subtrai-se a primeira da segunda (qSn - Sn), pois qSn >= Sn, se fizer o contrário irá sempre gerar um valor negativo. Cancelam-se os termos repetidos:
o que é equivalente (através de fatoração por fator comum) a
Divide-se ambos os termos por e o resultado segue.
Soma dos termos dentro de um intervalo da P.G.
A soma dos termos de uma progressão geométrica situados no intervalo fechado de até é calculada pela seguinte fórmula:
Soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica
A soma dos infinitos termos de uma P.G. é chamada série geométrica e está bem definida quando Sua soma é:
Se e então sua soma é mais infinito e se e sua soma é menos infinito.
Obs.: Esta tabela não esgota todos os casos. Ver o caso por exemplo. pode ser um número complexo. O tratamento destas séries pode ser visto no artigo sobre séries divergentes.
Produto dos termos de uma progressão geométrica O produto dos termos de uma progressão geométrica, a partir do primeiro, é dada por
e também pode ser determinado sem o conhecimento da razão:
sendo similar à forma do somatório de uma progressão aritmética.
Tipos de progressões geométricas
Progressão geométrica constante Uma progressão geométrica constante é toda P.G em que todos os termos são iguais, sendo que para isso sua razão deve ser igual a 1.
Exemplos de progressões geométricas constantes : tem razão e primeiro termo ; tem razão e primeiro termo .
Progressão geométrica crescente Uma progressão geométrica crescente é toda P.G em que a razão é superior a 1 e seu primeiro termo é superior a 0 ou quando sua razão está entre 0 e 1 e seu primeiro termo é inferior a 0. Obedecendo assim a ordem: e ou e .
Exemplos de progressões geométricas crescentes: tem razão e primeiro termo ; tem razão e primeiro termo .
Progressão geométrica decrescente Uma progressão geométrica decrescente é toda P.G em que a razão é superior a 1 e seu primeiro termo é inferior a 0 ou quando sua razão está entre 0 e 1 e seu primeiro termo é superior a 0. Obedecendo assim a ordem: e ou e
Exemplos de progressões geométricas decrescentes: tem razão e primeiro termo ; tem razão e primeiro termo .
Progressão geométrica oscilante Uma progressão geométrica oscilante é toda P.G em que a razão é um número negativo, fazendo com que a sequência numérica intercale entre números positivos e negativos. Sendo assim, obedece a ordem:
Exemplos de progressões geométricas oscilantes: tem razão e primeiro termo tem razão e primeiro termo
Exemplo de progressão geométrica Abaixo temos uma tabela na qual o termo e o termo e assim sucessivamente em progressão geométrica.
onde
1 2 2 6 3 18 4 54 5 162 6 486 7 1.458 8 4.374 9 13.122 10 39.366 11 118.098 12 354.294 13 1.062.882 14 3.188.646 15 9.565.938 16 28.697.814 17 86.093.442 18 258.280.326 19 774.840.978 20 2.324.522.934
Exemplo ilustrativo
O 8º termo pode ser pode obtido como
Enésimo termo de uma PG É possível a obtenção do enésimo termo da progressão geométrica dado dois outros termos quaisquer, conforme explicações:
Inicialmente é necessário obter-se o quociente().
Após obtido o quociente() o enésimo() termo procurado se encontra a partir da sua distância em relação ao termo ou seja,
Exemplo ilustrativo
Dado que uma Progressão Geométrica tem o 5º termo() igual a 1.250 e o 8º termo() igual a 156.250, qual é o valor do 2º termo()?
Agora usando o quociente () na fórmula do enésimo termo ().
O 2º termo da PG dada é igual a 10.
Ver também
Progressão aritmética Logaritmo Função exponencial Sequência de Fibonacci
Categoria:Sucessões