A transformada de Legendre consiste em uma transformação matemática que, quando aplicada sobre uma função sabidamente diferenciável em relação às suas variáveis independentes , fornece como resultado uma nova equação na qual as derivadas parciais associadas, e não as variáveis em si, figuram como variáveis independentes. A nova equação consiste na "mesma" equação inicial, mas agora "em uma forma reescrita", . A Transformada de Legendre realiza-se sempre de forma que nunca se perca qualquer informação presente na equação original, devendo as mesmas informações estarem sempre contidas na nova equação.A redação da maior parte deste artigo dá-se em acordo com o descrito em Callen, Herbert B. - Thermodynamics and An Introduction to Thermostatics - John Wiley & Sons - ISBN 0-471-86256-8
A Transformada de Legendre e a Termodinâmica A Transformada de Legendre encontra enorme aplicação em uma área da Física conhecida por Termodinâmica, área que tem por objetivo o estudo dos sistemas constituídos por "infinitos" entes físicos, moléculas em uma amostra confinada de gás, a exemplo.
Equação fundamental e Equação de estado
Em termodinâmica, cada sistema em estudo é descrito por uma equação matemática conhecida por equação fundamental, uma equação que retém em si todas as informações físicas associadas a este sistema. O conceito de equação fundamental reside no fato de, uma vez estabelecida a fronteira do sistema - o seu volume -, o número de entes que o compõem - o seu conteúdo material -, e a energia interna do sistema - o seu conteúdo em energia -, as condições deste sistema no equilíbrio termodinâmico encontram-se por estas grandezas (e algumas outras em sistemas mais complexos, como os magnéticos) então completamente determinadas, sendo obviamente calculáveis a partir destas.
As informações físicas, quando necessárias, podem ser extraídas da equação fundamental empregando-se um formalismo matemático inerente ao estudo da termodinâmica. A exemplo, para sistemas simples, no formalismo da entropia, a equação fundamental para a entropia S em um gás ideal será dependente das grandezas volume (V), número de partículas (e não de moles) N, e da Energia Interna U: . No formalismo da energia, isolando-se a energia interna U em tem-se facilmente , também uma equação fundamental. Qualquer informação física, incluindo-se as equações de estado, a exemplo a equação de Clapeyron e a equação da energia (n= 3; 5; ... ) para o caso dos gases ideais, pode ser facilmente extraídas da equação fundamental.
Repare que as duas equações anteriores, a de Clapeyron e a da energia , em função das grandezas tomadas como independentes, são equações de estado e não equações fundamentais do sistema, e portanto não retém em si, quando isoladas, todas as informações necessárias à determinação de todas as propriedades físicas do sistema. Caso conheçam-se as equações de estado de um sistema pode-se obter uma, e em consequência - mediante transformadas de Legendre - todas as equações fundamentais do sistema, mas para isto é necessário que conheçam-se de antemão todas as equações de estado do sistema, sem ausência de nenhuma delas. A título de curiosidade a equação fundamental para um sistema composto por N partículas de um gás ideal confinados em um volume V e com energia interna U é, na representação entrópica, com representando a constante de Boltzman e c uma constante, e a menos de constante(s) acompanhando a grandeza N com unidade(s) definida(s) de forma a tornar correta a análise dimensional, não explicitamente indicadas aqui:A saber, o expoente em funções exponenciais e o argumento em logaritmos devem ser adimensionais. Para maiores detalhes, consulte a versão anglófona do artigo Gases ideais.
Em acordo com Salinas, Sílvio R. A. - Introdução à Física Estatística - EdUSP - 1999 - ISBN 85-314-0386-3
Isolando-se U, tem-se, na representação da energia:
Verifica-se experimentalmente, entretanto, que as grandezas intensivas como a pressão , temperatura , e potencial químico ( onde , e no formalismo termodinâmico da energia) são muito mais acessíveis por medidas experimentais do que as grandezas extensivas como o volume V, entropia S e número de partículas N. Seria portanto extremamente conveniente, em acordo com a situação, principalmente em situações onde uma ou mais destas permaneçam constantes, que a equação fundamental pudesse ser reescrita, sem perda de informação, em função destas grandezas intensivas.
Representações no Formalismo da Energia A Transformada de Legendre cumpre exatamente o papel na termodinâmica de permitir que se escreva a equação fundamental de um sistema em função das grandezas intensivas (e/ou extensivas) associadas, e não apenas em função das correspondentes extensivas. Em acordo com a grandeza extensiva "transformada" para a intensiva a ela conjugada, dentro do formalismo da energia, a exemplo, surgem várias representações possíveis para a equação fundamental, a saber:
A energia interna U, onde : a representação padrão no formalismo da energia.
A energia livre de Helmholtz F, onde : decorre da substituição da grandeza extensiva S em pela correspondente grandeza conjugada, T, mediante F= U-TS , sendo "mais adequada" para o estudo das transformações isotérmicas.
A entalpia H, onde : decorre da substituição da grandeza extensiva V em pela correspondente intensiva, P, mediante H= U+PV , sendo "mais adequada" para o estudo das transformações isobáricas.
A energia livre de Gibbs G, onde : decorre das substituições da grandeza extensiva S pela correspondente intensiva, T, e da grandeza extensiva V pela correspondente grandeza conjugada P em , mediante G= U-TS+PV , sendo "mais adequada" para o estudo de processos que ocorrem à temperatura e pressão constantes.
O grande potencial canônico, , decorre das substituições da grandeza extensiva S pela correspondente intensiva, T, e das grandezas extensivas pelas correspondentes intensivas em , mediante , sendo "mais adequada" para o estudo de processos onde ocorrem várias substâncias misturadas (N_1, N_2,...) e, mesmo em caso de substância única, trocas de partículas à temperatura constante.
Em função da entropia S ser sempre uma função monótona crescente da energia interna U, a equação fundamental fundamental pode sempre ser "facilmente" reescrita, mediante troca de variáveis, para fornecer a equação, também fundamental, , o que, de forma similar ao feito para o formalismo da energia, dá origem ao que se conhece por formalismo termodinâmico da entropia (ou entrópico), igualmente aplicável ao estudo dos sistemas termodinâmicos e capaz de fornecer os mesmos resultados e informações antes obtidos no formalismo da energia. Transformadas de Legendre podem ser igualmente aplicadas à equação fundamental em acordo com o caso em estudo, fornecendo equações fundamentais que nem sempre recebem nomes especiais, sendo estas genericamente conhecidas por funções de Massieu. No formalismo da energia, a energia interna e suas transformadas são geralmente conhecidas por potenciais termodinâmicos.
A transformada de Legendre Descrição
thumb|300px|O gráfico de uma função, e de sua reta tangente, com inclinação no ponto x. thumb|300px|Há duas formas de se especificar a curva vista em vermelho na figura: fornecendo-se diretamente a relação entre Y e X (a exemplo Y=X²), ou especificando-se o conjunto de retas a ela tangentes - vistas em azul na figura. Para definir-se este conjunto de retas especifica-se a relação existente entre o interceptos e as inclinações P das respectivas retas: no exemplo. A transformada de Legendre,quando aplicada a uma das equações, fornece a outra (ou, ao rigor da matemática, menos a outra: ).
Para a compreensão da transformação de Legendre ir-se-á considerar aqui a interpretação geométrica da Transformada de Legendre, e por comodidade mas sem perda de generalidade, considerar-se-á também uma função dependente de apenas uma variável independente, X.
Sendo no presente caso, à primeira vista pode parecer que para se obter uma função onde P e não X desempenha o papel de variável independente bastaria eliminar-se X em mediante a relação estabelecida entre P e X por . Um reflexão um pouco mais aguçada, entretanto, mostrará que neste processo perde-se informação associada à curva inicial visto que, uma vez conhecido , não se pode inverter o processo de forma a se obter novamente de forma unívoca a função inicial . Na transformação proposta a informação relativa à inclinação associada a um dado ponto da curva inicial é preservada para cada ponto da curva, mas a informação sobre qual é exatamente este ponto X, ou seja, a informação de onde a reta tangente em X corta o eixo Y, não. Assim, apesar de ser possível se reconstruir o "formato" da curva inicial partindo-se de , a determinação da distância exata desta curva ao eixo coordenado Y no gráfico não será possível, podendo a curva que se obtém da reconstrução transladar livremente na horizontal; a informação da posição correta desta se perde na transformação inicial, conforme proposta.
A solução para o problema deve ser obtida partindo-se da observação de que qualquer equação que permita construir a família de retas tangentes a uma dada curva - e não apenas conhecer a inclinação de cada reta tangente em questão - automaticamente determina a própria curva de forma tão boa quanto o faz a equação da curva.
Para tal, considere a reta tangente à curva no ponto específico (X,Y) cuja inclinação é P (ver figura). É possível identificar o ponto onde esta reta intercepta o eixo Y e perceber que, da definição de inclinação de uma reta:
donde tem-se
Como as expressões e são conhecidas, uma simples álgebra matemática permite a eliminação de X e Y em favor de P e na equação acima, o que fornece a procurada relação . Esta relação claramente permite a reconstrução de cada uma das retas tangentes com precisão, pois fornecendo-se o valor da inclinação P de uma delas, sabe-se com clareza, então, o ponto onde esta reta deve interceptar o eixo Y.
Para recuperar-se a equação original partindo-se da equação , basta considerar que a Transformada de Legendre é simétrica, exceto por um sinal de menos na equação de transformação,O leitor é alertado neste ponto sobre algumas sutilezas na(s) definição(ões) de Transformada de Legendre, devendo o mesmo proceder a leitura da seção Consideração importante para maiores detalhes. à sua inversa. Assim, à parte um sinal de menos a se considerar, sendo T a transformação de Legendre, aplicá-la duas vezes em sequência fornecerá a mesma função inicial (T² = 1).
Em resumo tem-se:
A transformada de Legendre:
Determinar e Determinar e
Eliminação de X e Y fornece Eliminação de P e fornece
Ao rigor da Matemática Conforme tradução parcial do artigo encontrado na versão anglófona da Wikipédia em 14 de fevereiro de 2010 às 22:58 horas. Definições
Em matemática, a Transformada de Legendre, em homenagem a Adrien-Marie Legendre, é uma operação que transforma uma função real de variáveis reais em outra. A transformada de Legendre de uma função ƒ é a função ƒ∗ definida por:
Se ƒ é diferenciável, então ƒ∗(p) pode ser interpretado como o negativo Em termodinâmica e em várias outras situações não considera-se este sinal, devendo tomar-se algum cuidado quanto ao mesmo, conforme mais adiante explicado no presente texto. do intercepto em Y gerado por uma reta de inclinação particular p quando esta encontre-se tangente ao gráfico de ƒ. Em particular, para o valor de x associado ao máximo anterior tem-se a propriedade:
Isto é, a derivada da função ƒ torna-se o argumento da função ƒ∗. Em particular, se ƒ é convexa (ou côncava para cima), então ƒ∗ satisfaz a definição de um funcional.