Em matemática, o método de Laplace é uma técnica originalmente desenvolvida por Pierre-Simon Laplace (1774, p. 366-367) para aproximar integrais da forma
onde é uma função duplamente diferenciável, M é um grande número, e os pontos finais da integral a e b podem estar no infinito.
A ideia do método de Laplace thumb|A função em azul, é mostrado no topo para e em baixo para Aqui, com um máximo global em Isto é visto que como cresce de maneira mais acentuada, a aproximação desta função por uma função Gaussiana (mostrada em vermelho) é melhor obtida. Esta observação é subjacente ao método de Laplace.
Assumindo que a função f(x) tem um único máximo global em x0. Então, o valor f(x0) irá ser maior que outros valores f(x). Se nós multiplicarmos esta função por um grande número M, o lapso entre Mf(x0) e Mf(x) só irá aumentar, e então ele irá crescer exponencialmente para a função
Como tal, contribuições significativas para a integral dessa função só virá a partir de pontos x em um vizinhança de x0, a qual pode então ser estimada.
Teoria geral do método de Laplace Para estabelecer e provar o método, são necessários alguns pressupostos. Assume-se que x0 não é um ponto final do intervalo de integração, que o valor f(x) pode não ser muito próximo a f(x0) exceto se x é próximo a x0, e que .
Pode-se expandir f(x) em torno de x0 pelo teorema de Taylor,
onde
Desde que f tem um máximo global em x0, e já que x0 não é um ponto final, ele é um ponto estacionário, então f(x0)=0 nesse ponto. Com essa simplificação, a função f(x) pode ser aproximada a ordem quadrática por
para x próximo a x0 (lembrando que a segunda derivada é negativa no máximo global f(x0)). As suposições feitas garantem a precisão da aproximação
(ver a imagem à direita). Esta última integral é uma integral de Gauss se os limites de integração vão de −∞ a +∞ (os quais podem ser assumidos então porque a exponencial decai muito rápido longe de x0), e então ela pode ser calculada. Encontra-se
Uma generalização deste método e sua extensão a precisão arbitrária é apresentado por Fog (2008).
Extensão do Método de Laplace: Descida mais íngreme Em extensões do método de Laplace, análise complexa, e em particular a fórmula integral de Cauchy, é usada para encontrar um contorno de descida mais íngreme para uma integral equivalente (assintoticamente com M grande), expressa como uma integral de linha. Em particular, se nenhum ponto x0 onde a derivada de f desaparece existe sobre a linha real, isto pode ser necessário para deformar o contorno de integração para um ótimo, onde a análise acima será possível. Mais uma vez a ideia principal é reduzir, pelo menos assintoticamente, o cálculo da integral dada aquele de uma integral mais simples que possa ser explicitamente avaliada. Ver o livro de Erdelyi (1956) para uma discussão simples (onde o método é denominado descidas mais íngremes).
Generalizações posteriores Uma extensão do método da descida mais íngreme é a assim chamada método da descida mais íngreme/fase estacionária não linear. Aqui, ao invés de integrais, é necessário avaliar as soluções assintóticas dos problemas da fatoração de Riemann-Hilbert.
Dado um contorno C na esfera complexa, uma função f definida sobre este contorno e o especial, dito infinito, busca-se uma função M holomórfica distante do contorno C, com lapso previsto em C, e com uma dada normalização no infinito. Se f e portanto M são matrizes ao invés de escalares este é um problema que em geral não admite uma solução explícita.
Uma avaliação assintótica é então possível ao longo das linhas do método da descida mais íngreme/fase estacionária não linear. A ideia é reduzir assintoticamente a solução do problema de Riemann-Hilbert dado aquele de um problema de Riemann-Hilbert mais simples, explicitamente resolvível. O teorema de Cauchy é usado para ajustar deformações do contorno de lapso.
A fase estacionária não linear foi introduzida por Deift e Zhou em 1993, com base em trabalhos anteriores seus. O método da descida mais íngreme não linear (propriamente falando) foi introduzido por Kamvissis, K. McLaughlin e P. Miller em 2003, baseado em trabalhos prévios de Lax, Levermore, Deift, Venakides e Zhou.
O método da descida mais íngreme/fase estacionária não linear tem aplicações para a teoria de equações sóliton e modelos integráveis, matrizes aleatórias e combinatória.
Integrais complexas Para integrais complexas na forma:
com t >> 1, nós fazemos a substituição t = iu e a mudança de variável s = c + ix para obter a transformação bilateral de Laplace:
Então dividimos g(c+ix) em sua partes reais e complexas, após o que recuperamos u = t / i. Isto é útil para transformadas inversas de Laplace, a fórmula de Perron e integração complexa.
Exemplo 1: aproximação de Stirling O método de Laplace pode ser usado para derivar a aproximação de Stirling
para um N inteiro grande.
Da definição da função gama, nós temos
Agora, mudamos variáveis, obtendo
tal que
Coloca-se estes valores novamente para obter
Esta integral tem a forma necessária para o método de Laplace com
a qual é duplamente diferenciável:
O máximo de f(z) situa-se em z0=1, e a segunda derivada de f(z) tem neste ponto o valor -1. Então, obtemos
Exemplo 2: estimativa de parâmetros e inferência probabilística Azevedo-Filho and Shachter (1994) sumarizam resultados (univariados e multivariados) relacionados ao método de Laplace e apresentam um exemplo detalhado de sua aplicação a um problema envolvendo estimativa de parâmetros e inferência probabilística, sob uma ótica bayesiana. O método de Laplace é utilizado em um problema de meta-análise do domínio da medicina, envolvendo dados de experimentos, e comparado com outras técnicas. (artigo)
Ver também Método da fase estacionária
Referências . Deift, P.; Zhou, X. (1993), "A steepest descent method for oscillatory Riemann-Hilbert problems. Asymptotics for the MKdV equation", Ann. of Math. 137 (2): 295–368, doi: 10.2307/2946540 Erdelyi, A. (1956), Asymptotic Expansions, Dover. Fog, A. (2008), "Calculation Methods for Wallenius' Noncentral Hypergeometric Distribution", Communications in Statistics, Simulation and Computation 37 (2): 258–273, doi:10.1080/03610910701790269 Kamvissis, S.; McLaughlin, K. T.-R.; Miller, P. (2003), "Semiclassical Soliton Ensembles for the Focusing Nonlinear Schrödinger Equation", Annals of Mathematics Studies (Princeton University Press) 154'''. (no Google Books) Laplace, P. S. (1774). Memoir on the probability of causes of events. Mémoires de Mathématique et de Physique, Tome Sixième. (English translation by S. M. Stigler 1986. Statist. Sci.'', 1(19):364-378).
Categoria:Análise matemática