miniatura|Gráfico de distribuição de temperatura em uma esfera, com o inverso do número de Biot, , no eixo horizontal. Nesse gráfico, o comprimento característico é o raio da esfera.
O número de Biot (Bi) é uma grandeza adimensional usada em cálculos de transferência de calor, cujo nome homenageia o físico francês Jean-Baptiste Biot, que viveu de 1774 a 1862. O número de Biot compara a resistência térmica à condução no interior de um corpo com a resistência à convecção em sua superfície. Essa comparação permite avaliar quanto a temperatura no interior do corpo varia espacialmente quando ele é aquecido ou resfriado ao longo do tempo por um fluxo de calor em sua superfície.
Em problemas de aquecimento ou resfriamento por convecção de corpos inicialmente a uma temperatura uniforme, números de Biot pequenos, muito menores que 1, geralmente permitem considerar a temperatura quase uniforme no interior do corpo, o que simplifica a análise. Números de Biot da ordem de 1 ou maiores podem exigir que as diferenças internas de temperatura sejam consideradas.
O número de Biot é usado em problemas de transferência de calor, entre eles cálculos de condução de calor transiente e de transferência de calor em aletas.
Definição
O número de Biot é definido como:
onde: é a condutividade térmica do corpo, em W/(m·K) é um coeficiente convectivo de transferência de calor, em W/(m2·K) é um comprimento característico da geometria considerada, em m.
O número de Biot não deve ser confundido com o número de Nusselt, que usa a condutividade térmica do fluido, e não a do corpo.
Uma escolha comum para o comprimento característico térmico, usada no modelo de capacitância concentrada, é a razão entre o volume do corpo e a área pela qual ocorre a transferência de calor:
O subscrito Q, de calor, assinala que deve ser considerada apenas a parte da superfície total pela qual o calor passa. A escolha do comprimento característico depende da geometria e da formulação empregada. Nas soluções usuais de condução transiente para placas planas extensas, cilindros longos e esferas, como as empregadas nas cartas de Heisler, usa-se a meia espessura da placa ou o raio do cilindro ou da esfera. Os números de Biot e de Fourier devem ser calculados com o comprimento adotado na solução utilizada.
Para essas geometrias, as duas convenções dão os seguintes comprimentos:
+ Comprimentos característicos na condução térmica transiente Geometria e superfície de troca de calor Comprimento usado na solução unidimensional Placa de espessura , com troca de calor pelas duas faces e efeitos das bordas desprezados Cilindro longo de raio , com troca pela superfície lateral e efeitos das extremidades desprezados Esfera de raio , com troca por toda a superfície
Para o mesmo cilindro ou a mesma esfera, o número de Biot calculado com o raio é, respectivamente, duas ou três vezes o valor calculado com . A comparação com um critério de aproximação ou com um gráfico exige que se mantenha a convenção de comprimento correspondente.
Para uma aleta de seção transversal constante, a dimensão característica usada para avaliar a condução transversal pode ser escrita como
em que é a área da seção transversal e é o perímetro dessa seção exposto à convecção. Um número de Biot pequeno calculado dessa forma permite desprezar a variação de temperatura através da seção, mas não a variação ao longo da aleta.
A relação entre as resistências pode ser obtida diretamente para uma parede plana de espessura e área , com condução unidimensional e condutividade térmica constante. A resistência à condução é e a resistência à convecção é . Logo,
Para essa parede em regime estacionário, sem geração interna de calor, com temperaturas e em suas faces e um fluido externo à temperatura , a mesma relação pode ser escrita como
quando a mesma taxa de transferência de calor atravessa a parede por condução e deixa sua superfície por convecção. Nessa configuração, o número de Biot corresponde à razão entre a queda de temperatura no interior do sólido e a diferença de temperatura entre sua superfície e o fluido.
Considere uma pequena esfera metálica quente subitamente imersa em um líquido mais frio. O calor que deixa a esfera encontra duas resistências, uma à condução no interior do metal sólido, que depende do tamanho e da composição da esfera, e outra à convecção na superfície. Quando a resistência à convecção é muito maior que a resistência interna à condução, o número de Biot é muito menor que 1. Pode-se então considerar que o interior da esfera tem temperatura aproximadamente uniforme, embora essa temperatura varie com o tempo à medida que o calor atravessa a superfície. Se a temperatura do fluido, o coeficiente de convecção e as propriedades térmicas forem constantes, a diferença entre a temperatura da esfera e a do fluido decai exponencialmente, como na solução da lei do resfriamento de Newton pelo modelo de capacitância concentrada.
Uma esfera metálica também pode ser grande o suficiente para que seu comprimento característico seja grande e o número de Biot fique acima de 1. Nesse caso, os gradientes térmicos no interior da esfera precisam ser considerados, mesmo quando o material é um bom condutor. Se a esfera for feita de um material de baixa condutividade térmica, como madeira ou isopor, a resistência interna ao fluxo de calor pode superar a resistência à convecção mesmo para uma esfera bem menor. O valor do número de Biot depende também do tamanho da esfera e do coeficiente de convecção, não apenas do material.
Aplicações O valor do número de Biot permite avaliar se certos métodos podem ser empregados na solução de problemas de transferência de calor transiente. Um número de Biot inferior a aproximadamente 0,1 significa que a condução de calor no interior do corpo oferece resistência térmica muito menor que a convecção de calor em sua superfície. Nos problemas usuais de aquecimento ou resfriamento de um corpo inicialmente isotérmico, os gradientes de temperatura no interior do corpo podem então ser desprezados como aproximação. Esses corpos às vezes são chamados de "termicamente finos". Nessa situação, o modelo de capacitância concentrada pode ser empregado para avaliar a variação transiente da temperatura do corpo. Com um número de Biot superior a aproximadamente 0,1, a resistência térmica no interior do corpo pode deixar de ser desprezível, exigindo uma análise que considere as diferenças internas de temperatura. Esses corpos às vezes são chamados de "termicamente espessos". O limite de 0,1 é um critério aproximado de aplicação, não uma transição física abrupta.
Condução de calor para número de Biot finito Quando os gradientes internos de temperatura não podem ser desprezados, como ocorre em muitos problemas com número de Biot superior a aproximadamente 0,1, a equação do calor deve ser resolvida para determinar o campo de temperatura que varia no tempo e não é uniforme espacialmente no interior do corpo. Há soluções analíticas para algumas formas geométricas simples e materiais de condutividade térmica uniforme. Também estão disponíveis soluções analíticas verificadas acompanhadas de valores numéricos precisos. Quando a geometria, as propriedades do material ou as condições de contorno dificultam uma solução analítica, podem ser empregados métodos numéricos com um modelo computacional de transferência de calor.
Condução de calor para Bi ≪ 1 Um número de Biot inferior a aproximadamente 0,1 mostra que a resistência à condução no interior de um corpo é muito menor que a resistência à convecção de calor em sua superfície. Isso permite, nas condições usuais de aplicação, desprezar os gradientes internos de temperatura e usar o modelo de capacitância concentrada para a transferência de calor transiente. Para placas planas extensas, cilindros longos e esferas, com o número de Biot calculado pela meia espessura da placa ou pelo raio, o erro de temperatura desse modelo em é da ordem de 3% da diferença inicial de temperatura entre o corpo e o fluido. Esse percentual não é um limite universal de erro relativo da temperatura.
A solução mais simples corresponde a um corpo inicialmente à temperatura uniforme , exposto a um fluido cuja temperatura permanece constante após uma mudança súbita. Consideram-se constantes o coeficiente de convecção, a geometria e as propriedades térmicas do corpo, sem geração interna de calor ou mudança de fase e com troca de calor apenas por convecção. Nessas condições, o módulo da diferença entre a temperatura do corpo e a do fluido decai exponencialmente com o tempo, no resfriamento ou aquecimento "newtoniano".
Com calor específico constante, a variação da energia interna do corpo é proporcional à variação de sua temperatura. Para o sólido, adota-se a aproximação usual de desprezar a diferença entre os calores específicos a pressão constante e a volume constante, . A diferença entre a temperatura do corpo e a do fluido, por sua vez, é proporcional à taxa de transferência de calor para dentro ou para fora do corpo. A combinação dessas relações com a primeira lei da termodinâmica produz uma equação diferencial linear de primeira ordem:
A solução correspondente pelo método da capacitância concentrada pode ser escrita como
em que é a temperatura do corpo no instante e
é a constante de tempo térmica do corpo. A grandeza é a massa específica, em kg/m3, e é o calor específico, em J/(kg·K). No resfriamento, a temperatura do corpo diminui em direção a . No aquecimento, ela aumenta em direção a esse valor.
Usando a difusividade térmica e o número de Fourier
com o mesmo comprimento nas definições de Bi e Fo, obtém-se
e a solução também pode ser escrita como
.
O estudo da transferência de calor em suspensões de materiais de mudança de fase microencapsulados é uma aplicação do número de Biot. Nos modelos em que o número de Biot das microcápsulas é inferior a aproximadamente 0,1, seus gradientes internos de temperatura podem ser desprezados como aproximação. Essa condição deve ser verificada para os materiais, as dimensões e as condições de transferência de calor considerados. Durante a fusão ou solidificação, o balanço de energia precisa incluir o calor latente, mesmo quando se desprezam os gradientes internos de temperatura. A solução exponencial com calor específico constante, apresentada acima, não se aplica diretamente a essa etapa.
Tempo de resposta e energia transferida No modelo de capacitância concentrada, sob as hipóteses de propriedades e condições externas constantes, o tempo necessário para atingir uma temperatura entre e é
.
A constante de tempo também pode ser escrita como o produto da resistência à convecção pela capacidade térmica do corpo:
com
.
O aumento de qualquer uma dessas grandezas, mantendo a outra constante, torna a resposta térmica mais lenta. A equação tem a mesma forma da descarga de um circuito RC, cuja constante de tempo é o produto da resistência elétrica pela capacitância. Um número de Biot pequeno permite aproximar a temperatura interna por um único valor, mas não garante que o corpo se aqueça ou esfrie rapidamente.
A quantidade de calor transferida também pode ser obtida pela variação de energia interna. Adotando como positivo o calor que sai do corpo entre os instantes 0 e ,
e, substituindo a solução exponencial,
.
Nessa convenção, o resultado é positivo no resfriamento e negativo no aquecimento. Para expressar como positivo o calor absorvido pelo corpo, inverte-se o sinal.
Efeitos espaciais Quando a temperatura varia no interior do corpo, o número de Biot entra nas condições de contorno da equação do calor. Para uma parede plana de espessura , inicialmente à temperatura uniforme e exposta à mesma convecção em suas duas faces, com e constantes, a simetria permite analisar apenas a região entre o plano central e uma das superfícies. Com propriedades constantes, sem geração interna de calor e desprezando os efeitos das bordas, a condução unidimensional obedece a
.