thumb|Um polígono simples hexagonal. Um polígono simples é um polígono cujos lados não adjacentes não se interceptam. Um polígono simples divide o plano geométrico que o contém em duas regiões: a região interior ao polígono e a região exterior a ele. Um polígono que não é simples é denominado polígono complexo.
Também chamado de polígonos de Jordan, esses polígonos são tópicos recorrentes na geometria computacional, abordando triangulação de polígonos e menores caminhos percorridos em seu interior.
Definição Um polígono simples é uma curva fechada no plano constituída apenas de segmentos de reta, formando uma cadeia poligonal. Dois segmento de reta se encontram apenas nas extremidades e não há outros pontos de interseção entre esses segmentos.
Os segmentos de reta são chamados de arestas, enquanto os pontos de interseção entre as arestas são os vértices. Dois vértices são vizinhos se estão nas extremidades opostas de uma mesma aresta. A diagonal do polígono simples é qualquer segmento de reta que tenha dois vértices não vizinhos como extremidades e que esteja inteiramente contida no interior do polígono.
Matematicamente, podemos definir o polígono como a figura em formado por pontos em , pelos segmentos de reta e pelo segmento de reta , sendo .
Apesar da definição formal do polígono simples ser tipicamente um sistema de segmentos de reta, é comum na linguagem informal definí-lo como um conjunto fechado no plano, sendo a união entre esses segmentos de reta com o interior do polígono.
Às vezes, os polígonos simples são chamados de polígonos de Jordan, uma vez que são curva de Jordan,.em homenagem a Camille Jordan.
Propriedades
Ângulos O ângulo interno de um polígono simples é o ângulo de um dos vértices cuja região abrangida está contida no interior do polinômio. Esse ângulo pode ser convexo se medir menos de (ou 180º) ou côncava se for maior que . Considerando o ângulo interno como , o ângulo externo no mesmo vértice é definido como o suplementar . O ângulo externo, portanto, é positivo se o interno for convexo e negativo caso contrário. A soma dos ângulos externos para qualquer polígono simples é de ou 360°, enquanto a soma dos ângulos internos para um polígono de lados é .
Triangulação miniaturadaimagem|Problema da galeria de arte nesse polígono com 42 vértices é solucionado com a seleção de 4 vértices Todo polígono pode ser partido em triângulos através de algumas diagonais, processo denominado triangulação de polígonos.
De acordo com o problema da galeria de arte, em um polígono simples de lados, é sempre possível encontrar um subconjunto de no máximo tal que esses vértices apresentem a propriedade de que todos os pontos do polígono estejam visíveis de um desses vértices selecionados. Em outras palavras, para cada ponto do polígono, há um segmento de reta conectando a pelo menos um dos vértices selecionados de uma forma que esse segmento de reta passe apenas pelo interior do polígono.
Tipos especiais Todo polígono convexo é um polígono simples. Além disso, outra classe especial de polígono simples é o polígono com formato de estrela, em que ele contém um ponto da onde todo perímetro é visível.
Problemas computacionais Na geometria computacional, há diversos problemas envolvendo os polígonos simples.
O problema ponto em polígono pondera se dado um ponto no plano, ele se encontra dentro ou fora do polígono. Pode ser resolvido em um tempo linear ou logarítmico. Há diversos problemas envolvendo a área do interior do polígono, que podem ser resolvidos utilizando o teorema de Pick. A triangulação de polígonos simples, tema abordado no problema da galeria de arte, pode ser resolvida por algoritmos em um tempo linear. O caminho geodésico, isto é, o menor caminho do plano que conecta dois pontos no interior de um polígono sem cruzar o perímetro pode ser utilizado em um tempo linear. O mesmo é válido para encontrar o centro geodésico, o ponto cujo maior caminho geodésico dentre todos os pontos é o menor possível.
Categoria:Polígonos