miniaturadaimagem|As partes real (a vermelho) e imaginária (a azul) da função zeta de Riemann ao longo da linha crítica, Re(s) = 1/2. Podem ver-se os primeiros zeros não-triviais nos pontos em que Im(s) = ±14,135, ±21,022 e ±25,011 A hipótese de Riemann (ou conjectura de Riemann, frequentemente abreviada como HR) está relacionada à distribuição dos números primos e, na opinião dos principais matemáticos, é atualmente o mais importante problema não resolvido da matemática pura. Ela foi formulada pela primeira vez em 1859 por Bernhard Riemann em seu artigo Sobre o Número de Primos Menores que uma Dada Grandeza (Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe), em uma oração subordinada. A conjectura formulada por Riemann afirma que todos os zeros da função zeta de Riemann (para os quais se tem ) são números pares negativos , , …, ou números complexos cuja parte real é . Os primeiros são também chamados de zeros triviais e a hipótese afirma que os não triviais situam-se numa chamada reta crítica.
Tendo já sido incluída no ano de 1900 por David Hilbert em sua lista de 23 problemas importantes do século, ela foi adicionada no ano de 2000 pelo Instituto Clay de Matemática (Clay Mathematics Institute) à lista dos sete Problemas do Milênio da matemática. O instituto em Cambridge (Massachusetts) ofereceu, com isso, um prêmio de um milhão de dólares americanos para uma solução conclusiva do problema na forma de uma prova matemática. No entanto, em relação à descoberta de potenciais contraexemplos, existem regras especiais no concurso, em particular se estes forem obtidos com o poder de cálculo dos computadores modernos e não puderem fornecer nenhum "discernimento profundo" sobre o problema.
Uma importante equivalência à hipótese de Riemann é o comportamento "o mais aleatório possível" da sequência dos números primos . Isso deve se manifestar, por exemplo, pelo fato de que a sucessão dos eventos em que um número natural possui uma quantidade par de fatores primos, como por exemplo com dois fatores, ou possui uma quantidade ímpar de fatores primos, como com três fatores, para , ou seja, seguindo o esquema (com zero fatores primos para o 1) apresenta a longo prazo um comportamento aproximado que um lançamento de moeda infinitamente repetido com "cara" e "coroa" (representando "par" e "ímpar") poderia realisticamente ter. Esta perspectiva é motivada pelo teorema central do limite da teoria das probabilidades. Uma teoria que resolva a hipótese de Riemann e com isso forneça uma explicação mais profunda para essa aleatoriedade entre os números primos poderia, portanto, do ponto de vista dos matemáticos, resultar numa compreensão fundamentalmente nova dos números em geral.
A função zeta de Riemann, que é o objeto da conjectura, trata-se de uma função matemática entre números complexos, que é formalmente definida como um prolongamento analítico de uma soma infinita (série). Leonhard Euler já havia percebido que os valores da função podem ser representados tanto com a ajuda dos números primos (Produto de Euler) quanto com a ajuda de seus próprios zeros, de forma semelhante aos polinômios (por exemplo, ). Através dessa interação induzida, resulta que os zeros codificam as propriedades dos números primos e os números primos, por sua vez, codificam as propriedades dos zeros. Nesse contexto, os matemáticos falam frequentemente de uma dualidade.
Já está provado que a função zeta tem os zeros triviais e que a função zeta possui uma infinidade de zeros não reais com a parte real . A hipótese de Riemann afirma que não existem outros zeros além desses, ou seja, que todos os zeros não triviais da função zeta estão sobre uma reta no plano complexo paralela ao eixo imaginário. Uma vez que a função zeta, através de uma equação funcional, possui uma lei de reflexão elementar em relação a , ela é equivalente a que todos os zeros se encontrem "o mais à esquerda possível", sendo que "zeros à esquerda" resultam em uma distribuição de números primos mais uniforme. Ao mesmo tempo, a mera existência desses zeros constrói uma barreira natural que pode ser interpretada como significando que os números primos não podem estar distribuídos de forma arbitrariamente uniforme, como "cara, coroa, cara, coroa, cara, coroa, …".
Muitas questões até então não resolvidas, especialmente da teoria dos números, podem ser respondidas com a veracidade da hipótese de Riemann. Isso diz respeito a problemas da pesquisa fundamental em matemática, tais como os da distribuição dos números primos no contexto do Teorema do número primo ou da ainda em aberto Conjectura de Goldbach, bem como da matemática aplicada, como os testes de primalidade rápidos. Simultaneamente, ela também é considerada extremamente difícil de se provar. Até o momento, todas as tentativas de prova feitas por matemáticos proeminentes falharam. Um motivo para isso é que a humanidade, do ponto de vista dos especialistas, ainda não dispõe das ferramentas matemáticas necessárias para sequer abordá-la. Sendo assim, considera-se muito provável que ela não possa ser demonstrada por meios puramente analíticos, isto é, por mera investigação do "termo da função" da função zeta através do aparato teórico das funções holomorfas, mas que uma componente aritmética decisiva deva estar envolvida com o produto de Euler, muito embora este não mais convirja na faixa crítica, o que acarreta dificuldades consideráveis. Existem, assim, outras funções zeta que se assemelham muito à função zeta de Riemann em suas propriedades, mas que não possuem um produto de Euler e nas quais a hipótese de Riemann é comprovadamente falsa.
Através do uso extensivo de computadores, conseguiu-se confirmar a hipótese de Riemann para os primeiros 10 trilhões de zeros da função zeta. No entanto, uma vez que a função zeta comprovadamente possui infinitos zeros não reais, ela só poderia ser refutada desta maneira pela apresentação de um contraexemplo explícito, mas não provada. Um contraexemplo seria um zero na faixa crítica com a parte real diferente de .
Existem vários livros não-técnicos, sobre a hipótese de Riemann, como , , (Sabbagh , 2003a, 2003b), . Os livros , , , e dão uma introdução matemática, enquanto que , e são monografias avançadas.
Visão geral miniatura|upright=1.3|Os números compostos podem ser expressos por verdadeiros "retângulos" (vermelho, à direita), enquanto nos números primos apenas é possível um simples alinhamento (azul, à esquerda). miniatura|upright=1.3|Os números primos (azul, à direita) estão profundamente relacionados com um sistema de números complexos (vermelho, os outros eixos) – aqui tudo visualizado em conjunto no plano complexo (o gráfico mostra apenas uma secção). Só através da matemática desenvolvida desde o século XIX, em especial com o uso de números complexos, é que esta dualidade se tornou "visível". Se a hipótese de Riemann for verdadeira, então todos os (infinitos) "números duais" não triviais encontram-se sobre a linha tracejada. miniatura|upright=1.3|A frequência dos números primos é visualizada através de uma escada: num número primo, esta dá um salto de 1 para cima. Cada zero da função zeta corresponde a uma oscilação. Ao colocar todas estas em interferência simultânea, reconstrói-se a distribuição. A imagem mostra o efeito dos "primeiros" 50 pares de zeros.
No centro da Teoria dos números, o ramo da matemática que se dedica às propriedades dos números naturais 1, 2, 3, 4, ..., encontram-se os números primos 2, 3, 5, 7, 11, ... Estes distinguem-se pela propriedade de terem exatamente dois divisores, nomeadamente o 1 e eles próprios. O 1 não é um número primo. Os números primos formam, de certo modo, os átomos dos números inteiros, uma vez que cada número inteiro positivo pode ser decomposto de forma multiplicativa única nestes números. Este resultado é também designado por Teorema fundamental da aritmética. Por exemplo, tem-se 21 = 3 · 7 e 110 = 2 · 5 · 11.
Apesar da sua definição simples, e após vários milénios de história da matemática, ainda subsistem muitas questões em aberto sobre os números primos e a sua distribuição. A sua natureza constitui uma das mais importantes questões em aberto na matemática. A hipótese de Riemann implica muitas afirmações sobre a distribuição dos números primos e é motivada pelas seguintes questões:Barry Mazur, William Stein: Prime Numbers and the Riemann Hypothesis, Cambridge University Press, p. viii.
Quantos números primos 2, 3, 5, 7, 11, ... existem menores que 100? E quantos são menores que 10 000 ou 1 000 000? Mais genericamente: Quantos números primos existem que são menores que um dado número arbitrário X?Através do Teorema do número primo, já é possível fazer boas afirmações sobre isto, mas a hipótese de Riemann melhora-as.
À primeira vista, estas são questões de natureza muito específica, que dizem respeito apenas à teoria dos números, ou mais concretamente aos números primos. No entanto, os matemáticos, e mais tarde também os físicos, descobriram que estão relacionadas com uma multiplicidade de estruturas que interligam numerosas áreas das ciências matemáticas. Isto abrange, por exemplo, a Física quântica, mas também a Teoria das probabilidades, o ramo da matemática que lida com o acaso. Todas estas correlações ainda não foram exatamente formalizadas, nem tão-pouco compreendidas. Contudo, todas convergem para a hipótese de Riemann: Os números primos encontram-se numa dualidadeJörg Brüdern: Einführung in die analytische Zahlentheorie. Springer Verlag, p. 5.Dimitris Koukoulopoulos: The Distribution of Prime Numbers, American Mathematical Society, Vol. 203, 2020, p. 57.Alain Connes: An Essay on the Riemann Hypothesis In: John Forbes Nash, Michael Th. Rassias (ed.): Open Problems in Mathematics. Springer, p. 228. face a outro tipo de objetos matemáticos. Neste contexto, a dualidade significa que existe um emparelhamento natural entre os números primos e estes outros objetos. De certa forma, informações sobre os números primos são transferidas para estes outros objetos, mas, vice-versa, estes "objetos parceiros" também codificam informações sobre os números primos. Estes objetos são, mais uma vez, números. Dividem-se em duas categorias:
Já em meados do século XIX, Bernhard Riemann reconheceu que os números pares negativos, ou seja, , fazem parte desta dualidade. Este segmento é até hoje designado como trivial, uma vez que a profundidade matemática necessária para a sua compreensão não é tão elevada. Os restantes "números duais", não triviais, não surgem como "números de contagem", à semelhança do que faziam os números primos 2 e 3 do outro lado da dualidade; trata-se sim de determinados números complexos. Os "primeiros" três destes números, ordenados pela magnitude das suas partes imaginárias, são
Nisto, o símbolo designa a unidade imaginária dos números complexos e corresponde ao número que, multiplicado por si próprio, perfaz . O que salta à vista é a comunhão do número enquanto parte real: Em contraste com a "disposição completamente arbitrária" dos números primos, parece subjacente aos "números duais" não triviais um padrão bastante rigoroso: como todos os números complexos, podem inicialmente ser visualizados num plano, e a hipótese de Riemann postula que os "números duais" não triviais correspondentes aos números primos se encontram todos posicionados sobre uma reta comum no plano – concretamente aquela onde assentam todos os números com parte real = . Aparentam, assim, deter uma forte simetria geométrica.