Em matemática, o inverso aditivo de um número (por vezes chamado de oposto de ) . é o número que, quando adicionado a , resulta em zero. A operação que leva um número ao seu inverso aditivo é conhecida como mudança de sinal ou negação. O termo "negação" faz referência aos números negativos, o que pode ser enganador, porque o inverso aditivo de um número negativo é positivo. Para um número real, inverte seu sinal: o inverso aditivo (número oposto) de um número positivo é negativo, e o inverso aditivo de um número negativo é positivo. Zero é o inverso aditivo de si mesmo.
O inverso aditivo de é denotado por menos unário : (ver também abaixo). Por exemplo, o inverso aditivo de 7 é −7, porque , e o inverso aditivo de −0,3 é 0,3, porque .
Da mesma forma, o inverso aditivo de é que pode ser simplificado para . O inverso aditivo de é , porque .
O inverso aditivo é definido como o seu elemento inverso na operação binária da adição (ver também abaixo), o que permite uma ampla generalização para outros objetos matemáticos além dos números. Como para qualquer operação inversa, o inverso aditivo duplo não tem efeito líquido : .
Exemplos comuns Num número (e geralmente em qualquer anel), o inverso aditivo pode ser calculado usando a multiplicação por -1; isto é, -n = -1 × n. Exemplos de anéis de números incluem inteiros, números racionais, números reais e números complexos.
Relação com a subtração O inverso aditivo está intimamente relacionado com a subtração, que pode ser vista como uma adição do oposto: .
Por outro lado, o inverso aditivo pode ser pensado como subtração a partir de zero: .
Assim, a notação do sinal de menos unário pode ser considerada como uma abreviação para a subtração (com o símbolo "0" omitido), embora numa tipografia correta não deva haver espaço após o "−" unário.
Outras propriedades Além das identidades listadas acima, a negação possui as seguintes propriedades algébricas: , é uma operação de involução
nomeadamente,
Definição formal A notação + é geralmente reservada para operações binárias comutativas (operações em que para todos os , . Se tal operação admite um elemento identidade (tal que para todos os ), então esse elemento é único (). Dado um específico, se existir um tal que , então é chamado de inverso aditivo de .
Se + é associativo, ou seja, para todos os , , , então o inverso aditivo é único. Para o demonstrarmos, consideramos e inversos aditivos de ; logo:
.
Por exemplo, como a adição de números reais é associativa, cada número real tem um inverso aditivo único.
Outros exemplos Todas os seguintes exemplos são, na verdade, grupos abelianos:
Números complexos: . No plano complexo, esta operação roda um número complexo 180 graus em torno da origem (ver a imagem acima). Adição de funções com valores reais e complexos: aqui, o inverso aditivo de uma função é a função definida por , para todo , tal que , a função zero para todo ). De forma mais geral, o que foi mencionado aplica-se a todas as funções com valores num grupo abeliano ('zero' significando então o elemento identidade desse grupo): Sequências, matrizes e redes são também tipos especiais de funções. Num espaço vetorial, o inverso aditivo é frequentemente chamado de vetor oposto de ; ele tem a mesma magnitude que o original e direção oposta. A inversão aditiva corresponde à multiplicação escalar por −1. Para o espaço euclidiano, isso equivale à reflexão pontual na origem. Vetores em direções exatamente opostas, mas não necessariamente com a mesma magnitude, são por vezes referidos como vetores antiparalelos. Funções com valores em espaços vetoriais (não necessariamente lineares). Na aritmética modular, o inverso aditivo modular de também é definido: é o número tal que . Este inverso aditivo sempre existe. Por exemplo, o inverso de 3 módulo 11 é 8 porque é a solução para .
Não exemplos Números naturais, números cardinais e números ordinais não têm inversos aditivos dentro dos respetivos conjuntos. Assim, pode-se dizer, por exemplo, que os números naturais têm inversos aditivos, mas como esses inversos aditivos não são eles próprios números naturais, o conjunto dos números naturais não está fechado quando se considera a obtenção de inversos aditivos.