Geometria

thumb|direita|250px|Uma ilustração do Teorema de Desargues, um resultado importante nas geometrias euclidiana e projetiva

thumb|250px|direita|(P.Oxy. I 29) mostrando um fragmento dos Elementos de Euclides

A geometria (; geo- "terra", -metria "medida") é um ramo da matemática preocupado com questões de forma, tamanho e posição relativa de figuras e com as propriedades dos espaços. Um matemático que trabalha no campo da geometria é denominado de geômetra.

A geometria surgiu independentemente em várias culturas antigas como um conjunto de conhecimentos práticos sobre comprimento, área e volume. Por volta do século III a.C., a geometria foi posta em uma forma axiomática por Euclides, cujo tratamento, chamado de geometria euclidiana, estabeleceu um padrão que perdurou por séculos, ainda que não refletisse a matemática de sua época. Arquimedes, por exemplo, desenvolveu técnicas engenhosas para calcular áreas e volumes sem se preocupar com o tratamento axiomático dos Elementos.

direita|miniatura|A geometria esférica é um exemplo de geometria não-euclidiana. Ela tem aplicações práticas em navegação e astronomia|250x250px

A partir da experiência, ou, eventualmente, intuitivamente, as pessoas caracterizam o espaço por certas qualidades fundamentais, que são denominadas axiomas de geometria (como, por exemplo, os axiomas de Hilbert). Esses axiomas não são provados, mas podem ser usados em conjunto com os conceitos matemáticos de ponto, linha reta, linha curva, superfície e sólido para chegar a conclusões lógicas, chamadas de teoremas.

A influência da geometria sobre as ciências físicas foi enorme. Como exemplo, quando o astrônomo Kepler mostrou que as relações entre as velocidades máximas e mínimas dos planetas, propriedades intrínsecas das órbitas, estavam em razões que eram harmônicas — relações musicais —, ele afirmou que essa era uma música que só podia ser percebida com os ouvidos da alma — a mente do geômetra.

Com a introdução da geometria analítica, muitos problemas de álgebra puderam ser transformados em problemas de geometria e vice-versa, muitas vezes conduzindo à simplificação das soluções.

História

Egito Antigo

thumb|esquerda|Ilustração do ensino da Geometria, dos Elementos de Euclides

A matemática surgiu de necessidades básicas, em especial da necessidade econômica de contabilizar diversos tipos de objetos. De forma semelhante, a origem da geometria (do grego geo =terra + metria= medida, ou seja, "medir terra") está intimamente ligada à necessidade de melhorar o sistema de arrecadação de impostos de áreas rurais, e foram os antigos egípcios que deram os primeiros passos para o desenvolvimento da disciplina.

Todos os anos o rio Nilo extravasava as margens e inundava o seu delta. A boa notícia era a de que as cheias depositavam nos campos de cultivo lamas aluviais ricas em nutrientes, tornando o delta do Nilo a mais fértil terra lavrável do mundo antigo. A má notícia consistia em que o rio destruía as marcas físicas de delimitação entre as possessões de terra, gerando conflitos entre indivíduos e comunidades sobre o uso dessa terra não delimitada.

A dimensão desses conflitos pode ser apreciada na repercussão que se encontra no Livro dos Mortos do Egito, onde uma pessoa acabada de falecer tem de jurar aos deuses que não enganou o vizinho, roubando-lhe terra. Era um pecado punível com ter o coração comido por uma besta horrível chamada o «devorador». Roubar a terra do vizinho era considerado uma ofensa tão grave como quebrar um juramento ou assassinar alguém. Sem marcos fronteiriços, os agricultores e administradores de templos, palácios e demais unidades produtivas fundadas na agricultura não tinham referência clara do limite das suas possessões para poderem cultivá-la e pagarem os impostos devidos na medida da sua extensão aos governantes.

Os antigos faraós resolveram passar a nomear funcionários, os agrimensores, cuja tarefa era avaliar os prejuízos das cheias e restabelecer as fronteiras entre as diversas posses. Foi assim que nasceu a geometria. Estes agrimensores, ou esticadores de corda (assim chamados devido aos instrumentos de medida e cordas entrelaçadas concebidas para marcar ângulos retos), acabaram por aprender a determinar as áreas de lotes de terreno dividindo-os em retângulos e triângulos.

A origem da geometria se situar no Egito é muito em função dos trabalhos do antigo historiador Heródoto, que defendia que a geometria teria sido inventada a partir das necessidades práticas, enquanto que os gregos teriam se apropriado dessa geometria e teriam adicionado a argumentação dedutiva e o pensamento abstrato. No entanto, essa tese não é mais sustentada pelos historiadores, uma vez que há diversos outros registros de práticas geométricas em civilizações como na Mesopotâmia Antiga ou no extremo oriente.

Os três problemas clássicos da geometria Ao longo da história, três problemas se tornaram clássicos: a quadratura do círculo, a duplicação do cubo e a trissecção do ângulo.

Esses problemas se tornaram populares, pois, por muito tempo, acreditava-se que seria possível resolvê-los apenas com régua e compasso, como determina a tradição euclideana. Alguns matemáticos propuseram soluções para tais problemas utilizando outros recursos. De fato, qualquer um dos problemas clássicos da Geometria têm solução trivial por meio da álgebra ou ainda por meio de geometria a partir de curvas mecânicas, como a espiral de Arquimedes, ou outros instrumentos. Somente a partir do século XIX tornou-se aceito pela comunidade matemática a impossibilidade de resolver tais problemas apenas com régua e compasso.

O primeiro problema: A quadratura do círculo thumb|O Problema da Quadratura do Círculo O problema da quadratura do círculo foi proposto por Anaxágoras (499-428 a.C.): dado um círculo, construir um quadrado de mesma área. Como os gregos desconheciam as operações algébricas e priorizavam a Geometria, propunham solução apenas com régua (sem escala) e compasso.

O segundo problema: A duplicação do cubo thumb|Representação Gráfica do Problema da Duplicação do Cubo Conta uma lenda que, em 429 a.C., durante o cerco espartano na Guerra do Peloponeso, uma peste dizimou um quarto da população de Atenas, matando inclusive Péricles, e que uma plêiade de sábios fora enviada ao oráculo de Apolo, em Delfos, para inquirir como a peste poderia ser eliminada.

O oráculo respondeu que o altar cúbico de Apolo deveria ser duplicado. Os atenienses celeremente dobraram as medidas das arestas. A peste, em vez de se amainar, recrudesceu. Qual o erro? Em vez de dobrar, os atenienses octuplicaram o volume do altar. A complexidade do problema deve-se ao fato de que os gregos procuravam uma solução geométrica, usando régua (sem escala) e compasso.

Em 1837, Pierre L. Wantzel, um jovem professor e matemático francês de apenas 23 anos, demonstra que a quadratura do círculo e a duplicação do cubo não podem ser resolvidos utilizando-se apenas régua e compasso.

O terceiro problema: A trissecção do ângulo A trissecção do ângulo foi o terceiro dos problemas clássicos da antiguidade grega. Pretendia-se trissectar um ângulo, isto é, dividi-lo em três partes perfeitamente iguais usando apenas uma régua não graduada e um compasso.

Arquimedes propôs uma solução utilizando a espiral que leva seu nome.

Axiomatização da geometria Os gregos antigos desenvolveram uma estrutura de argumentação axiomática para a geometria que ficariam bastante populares na matemática europeia moderna. Essa estrutura que parte de algumas definições, axiomas e postulados e, que a partir desses elementos devidamente pré-estabelecidos, poderiam se deduzir os teoremas da geometria. Por volta do ano 300 a.C., Euclides, um matemático grego que vivia em Alexandria, escreveu um livro em 13 volumes intitulado Os Elementos, que expôs uma matemática de forma sistemática e estruturada, que reflete parte do conhecimento geométrico de diversos matemáticos gregos. Os Elementos, além de geometria, também trata de aritmética. thumb|right|180px|Estátua de Euclides

É importante ressaltar que Os Elementos não refletem todas práticas matemáticas da Grécia Antiga. A limitação de utilizar somente régua e compasso é uma limitação que só se vê Os Elementos e em alguns outros tratados geométricos desse período. Muitos assuntos matemáticos não foram contemplados nos elementos e muitos matemáticos não lidavam com a matemática a partir de .

Os gregos desenvolviam a matemática não com escopo prático, utilitarista, mas movidos pelo desafio intelectual, pelo “sabor do saber” e pelo prazer intrínseco, já que a matemática enseja o apanágio da lógica, da têmpera racional da mente e da coerência do pensamento. A prática dos debates e da argumentação era comum na vida pública do cidadão grego, portanto isso acaba se refletindo também na geometria.

Alguns influentes historiadores da matemática defendiam que nos Elementos havia teoremas de álgebra ou geometria algébrica, em especial nos livros 2 e 3. No entanto, é importante mencionar que as práticas algébricas são muito posteriores ao período dos gregos antigos. Essa interpretação anacrônica não é mais defendida pelos historiadores de hoje. Geometria analítica

No século XVII, a criação da geometria analítica pelos matemáticos franceses René Descartes e Pierre de Fermat conectou a álgebra à geometria de forma bastante inovadora. Até então a geometria possuía um papel de justificar os procedimentos algébricos. A álgebra não era vista como uma disciplina, mas como uma extensão da geometria. No entanto, a partir do século XVII, essa hierarquia implícita da superioridade da geometria sobre a álgebra é rompida – ainda que não totalmente até ao século XIX. A álgebra passa a ser utilizada para obter novos resultados geométricos e generalizar outros resultados já conhecidos. As práticas analíticas se tornaram importantes para o desenvolvimento do cálculo infinitesimal.

Geometrias não euclidianas

“A suposição de que (em um triângulo) a soma dos três ângulos é menor que 180° leva a uma curiosa geometria, muito diferente da nossa, mas completamente consistente, que desenvolvi para a minha inteira satisfação.” — Carl GaussEsta é uma tradução livre para o português de uma tradução para o inglês da frase original em alemão. A tradução para o inglês: (Carl Gauss, em carta particular, 1824.)

Houve muita controvérsia em torno das geometrias não euclidianas. Por vezes, os teoremas em geometria não euclidiana eram tão exóticos que, apesar de não encontrarem inconsistências lógicas, matemáticos a tomavam como absurda.thumb|146x146px|O matemático Felix Klein thumb|158x158px|O matemático Alexander Grothendieck Programa de Erlangen

thumb|188x188px|O matemático Benoit Mandelbrot “Dado qualquer grupo de transformações no espaço que inclui o grupo principal como um subgrupo, então a teoria invariante para esse grupo fornece um tipo definido de geometria, e todas as geometrias possíveis podem ser obtidas dessa mesma maneira.” — Felix KleinEsta é uma tradução livre para o português de uma tradução para o inglês da frase original em alemão. A tradução para o inglês: (Felix Klein, em )