right|frame|Animação de uma rolete de uma parábola sobre outra, resultando uma Cissoide de Díocles
Em geometria diferencial de curvas, uma rolete é um tipo de curva, generalizando cicloides, epicicloides, hipocicloides, trocoides e evolventes.
De forma geral, é a curva descrita por um ponto (denominado gerador ou polo) pertencente a uma curva dada que rola sem deslizar sobre uma outra curva dada e que permanece fixa. Mais precisamente, dada uma curva em um plano que se move tal que a curva rola sem deslizar ao longo de uma dada curva em um plano fixo ocupando o mesmo espaço, então um ponto pertencente ao plano móvel descreve uma curva no plano fixo denominada rolete.
Na animação ao lado, a curva fixa (em azul) é uma parábola, a curva móvel (em verde) é outra parábola igual à azul, e o gerador é o vértice da parábola rolante, que descreve a rolete (em vermelho). Neste caso a rolete é a Cissoide de Diocles.
Quando a curva rolante é uma reta e o gerador é um ponto sobre a reta, a rolete é denominada evolvente da curva fixa. Se a curva rolante é um círculo e a curva fixa é uma reta, a rolete é uma trocoide. Se, neste caso, o ponto está sobre o círculo, então a rolete é uma cicloide.
Se, ao invés de um simples ponto fixo ser marcado na curva girante outra dada curva é carregada junto com o plano móvel, uma família de curvas congruentes é produzida. O envelope desta família também pode ser chamado de rolete.
Um conceito relacionado é uma glissete, a curva descrita por um ponto ligado a uma dada curva quando esta desliza sobre duas (ou mais) curvas dadas.
Formalmente falando, as curvas devem ser diferenciáveis no plano euclidiano. Uma permanece invariante, e a outra é submetida a uma transformação congruente contínua, tal que para todo tempo as curvas são tangentes em um ponto de contato que se move com a mesma velocidade ao longo de qualquer das curvas. A rolete resultante é formada pelo lugar geométrico do gerador sujeito ao mesmo conjunto de transformações congruentes.
Modelando as curvas originais no plano complexo, sejam parametrizações distintas tal que r(0)=f(0), r′(0)=f′(0), e |r′(t)|=|f′(t)|≠0 para todo t. A rolete de quando r rola sobre f é então dada pelo mapeamento
Roletes em espaços de maiores dimensões podem ser imaginadas, mas são necessário mais parâmetros que apenas tangentes.
Exemplo Se a curva fixa é uma catenária e a curva rolante uma reta, temos:
A parametrização da linha é tal que
Aplicando a fórmula acima obtemos
Se p = −i a expressão tem a parte imaginária constante (−i) e a rolete é uma linha horizontal. Uma aplicação interessante disto é que uma roda quadrada pode rolar sem saltar sobre uma estrada que é composta por uma série de arcos catenários, como mostra a animação a seguir.
right|frame|A roda quadrada
Lista de roletes Curva fixaCurva rolantePonto geradorRoleteQualquer curvaRetaPonto da retaEvolvente de uma curvaRetaCircunferênciaQualquerTrocoideRetaCircunferênciaPonto da circunferênciaCicloideRetaCônicaCentro da cônicaRolete de Sturm"Sturm's roulette" on www.mathcurve.comRetaCônicaFoco da cônicaRolete de Delaunay"Delaunay's roulette" on www.mathcurve.comRetaParábolaFoco da parábolaCatenária"Delaunay's roulette" on www.2dcurves.com RetaElipseFoco da elipseCatenária elípticaRetaHipérboleFoco da hipérboleCatenária hiperbólicaRetaHipérboleCentro da hipérboleElástica retangularRetaEpicicloide ou HipocicloideCentroElipse"Roulette with straight fixed curve" on www.mathcurve.com CircunferênciaCircunferênciaQualquerTrocoide centrada"Centered trochoid" on mathcurve.comParábolaParábola igual parametrizada em sentido opostoVértice da parábolaCissoide de Diocles CatenáriaRetaVer exemplo acimaLine
Bibliografia Besant, W. H. Notes on Roulettes and Glissettes, Deighton, Bell & Co., 1890. Online
Ligações externas
Categoria:Curvas