Em matemática, o processo de Wiener é um processo estocástico de tempo contínuo, que recebe este nome em homenagem a Norbert Wiener. É frequentemente chamado de processo de movimento browniano padrão ou movimento browniano devido a sua conexão histórica com o processo físico conhecido como movimento browniano primeiramente observado por Robert Brown. Foi também estudado por Albert Einstein. É um dos mais conhecidos processos de Lévy (processos estocásticos càdlàg com incrementos independentes estacionários) e ocorre frequentemente em matemática pura e aplicada, economia, matemática financeira e física.

O processo de Wiener desempenha um papel importante tanto na matemática pura, quanto na aplicada. Em matemática pura, o processo de Wiener fez surgir o estudo de martingales de tempo contínuo. É um processo-chave em cujos termos processos estocásticos mais complicados podem ser descritos, em especial, por ser um dos únicos processos que é, ao mesmo tempo, martingale e markoviano. Como tal, desempenha um papel vital no cálculo estocástico, nos processos de difusão e, até mesmo, na teoria do potencial. É o processo condutor da evolução de Schramm-Loewner. Em matemática aplicada, o processo de Wiener é usado para representar a integral de um processo gaussiano de ruído branco, que é útil no que se refere a modelos de ruído na engenharia eletrônica (veja ruído browniano), erros de instrumento em teoria da filtragem e forças desconhecidas em teoria de controle.

O processo de Wiener tem aplicações por todas as ciências matemáticas. Em física, é usado para estudar o movimento browniano, a difusão de partículas mínimas suspensas em fluido, e outros tipos de difusão via equações de Langevin e Fokker-Planck. Também constitui a base da formação de integrais de caminho da mecânica quântica (pela fórmula de Feynman-Kac, uma solução à equação de Schrödinger que pode ser representada nos termos do processo de Wiener) e do estudo da inflação eterna na cosmologia física. Também é proeminente na teoria matemática das finanças, em particular no modelo Black-Scholes de precificação de opções.

Caracterizações do processo de Wiener O processo de Wiener é caracterizado pelas seguintes propriedades: q.c. tem incrementos independentes: para todo , os incrementos futuros , , são independentes dos valores passados , . tem incrementos gaussianos: é normalmente distribuído com média e variância , tem caminhos contínuos: com probabilidade , é contínuo em . Por incrementos independentes, diz-se que, se , então e são variáveis aleatórias independentes e a mesma condição se mantém para incrementos.

Uma caracterização alternativa do processo de Wiener é a então chamada caracterização de Lévy, que diz que o processo de Wiener é um martingale quase certamente contínuo com e variação quadrática (o que significa que é também um martingale).

Uma terceira caracterização diz que o processo de Wiener tem um representação espectral como uma série de senos cujos coeficientes são variáveis aleatórias independentes . Esta representação pode ser obtida usando o teorema de Karhunen-Loève.

Outra caracterização de um processo de Wiener é a integral definida (de ao tempo ) de um processo gaussiano ("branco") delta-correlacionado com variância e média .

O processo de Wiener pode ser construído como o limite escalar de um passeio aleatório ou outros processos estocásticos de tempo discreto com incrementos independentes estacionários. Isto é conhecido como teorema de Donsker. Assim como o passeio aleatório, o processo de Wiener é recorrente em uma ou duas dimensões (o que significa que ele retorna quase certamente a qualquer vizinhança fixada da origem infinitas vezes), mas não é recorrente em três ou mais dimensões. Diferentemente do passeio aleatório, tem como característica a invariância de escala, o que significa que

é um processo de Wiener para qualquer constante não nula. A medida de Wiener é a lei probabilística no espaço das funções contínuas , com , induzido pelo processo de Wiener. Uma integral baseada na medida de Wiener pode ser chamada de integral de Wiener.

Processo de Wiener como um limite do passeio aleatório Considere variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média e variância . Para cada , defina um processo estocástico de tempo contínuo

Esta é uma função passo aleatório. Incrementos de são independentes porque são independentes. Para grande, é próximo de pelo teorema central do limite. Conforme , se aproximará de um processo de Wiener. A prova desta afirmação é oferecida pelo teorema de Donsker. Esta formulação explicou por que o movimento browniano é ubíquo.

Propriedades de um processo de Wiener unidimensional

Propriedades básicas A função densidade de probabilidade incondicional, que segue distribuição normal com média igual a e variância igual a , em um tempo fixado :

O valor esperado é zero:

A variância, usando a fórmula algébrica para a variância, é t:

Covariância e correlação A covariância e a correlação:

Os resultados para o valor esperado e a variância seguem imediatamente da definição de que os incrementos têm uma distribuição normal, centrada em zero. Assim

Os resultados para a covariância e a correlação seguem da definição de que incrementos não sobrepostos são independentes, da qual apenas a propriedade de que eles não são correlacionados é usada. Suponha que .

Substituindo

Chegamos em:

Já que e são independentes,

Assim

Representação de Wiener Wiener (1923) também deu uma representação de um caminho browniano em termos de uma série aleatória de Fourier. Se são variáveis gaussianas independentes com média e variância , então

e

representa um movimento browniano em . O processo escalado

é um movimento browniano em (vide teorema de Karhunen-Loève).

Máximo corrente A distribuição conjunta do máximo corrente

e é

Para obter a distribuição incondicional de , integra-se ao longo de :

E o valor esperado

Se em o processo de Wiener tem um valor conhecido , é possível calcular a distribuição de probabilidade condicional do máximo no intervalo (vide a distribuição de probabilidade de pontos extremos de um processo estocástico de Wiener).

Autossemelhança

Escalamento browniano Para todo , o processo é outro processo de Wiener.

Reversão de tempo O processo para é distribuído como para .

Inversão de tempo O processo é outro processo de Wiener.

Uma classe de martingales brownianos Se uma função polinomial satisfaz a equação diferencial parcial

então o processo estocástico

é um martingale.

Exemplo: é um martingale, que mostra que a variação quadrática de em é igual a . Segue-se que o tempo de primeira saída esperado de de é igual a .

Mais geralmente, para toda função polinomial , o seguinte processo estocástico é um martingale:

em que é a função polinomial

Exemplo: o processo

é um martingale, que mostra que a variação quadrática do martingale on [0, t] é igual a

Algumas propriedades de caminhos amostrais O conjunto de todas as funções com estes propriedades é composto inteiramente por medidas de Wiener. Isto é, um caminho (função amostral) do processo de Wiener tem todas estas propriedades quase certamente.

Propriedades qualitativas Para todo , a função assume tanto valores (estritamente) positivos, como (estritamente) negativos em . A função é contínua em todo lugar, mas diferenciável em lugar nenhum (assim como a função de Weierstrass). Pontos do máximo local da função são um conjunto contável denso; os valores máximos são diferentes por pares; cada máximo local é agudo na seguinte acepção: se tem um máximo local em , então

O mesmo se aplica a mínimos locais. A função não tem nenhum ponto de crescimento local, isto é, nenhum satisfaz as seguintes condições para algum em : em primeiro lugar, para todo em , e em segundo lugar, para todo em . O crescimento local é uma condição mais fraca do que aquela referente ao crescimento de em . O mesmo se aplica ao decrescimento local. A função é de variação limitada em todo intervalo. A variação quadrática de ao longo de é . Os zeros da função são um conjunto perfeito denso em lugar nenhum com medida de Lebesgue 0 e dimensão de Hausdorff (portanto, incontável).

Propriedades quantitativas

Lei do logaritmo iterado

Módulo de continuidade Módulo local de continuidade:

Módulo global de continuidade (Lévy):

Tempo local A imagem da medida de Lebesgue em sob o mapa (a medida imagem) tem uma densidade . Assim,

para uma ampla classe de funções (nomeadamente, todas as funções contínuas, todas as funções localmente integráveis, todas as funções não negativas mensuráveis). A densidade é (mais exatamente, pode ser e será escolhida como) contínua. O número é chamado de tempo local em de ao longo de . É estritamente positiva para todo do intervalo , em que e são o menor e o maior valor de em , respectivamente. Para fora deste intervalo, o tempo local evidentemente desaparece. Tratado como uma função de duas variáveis e , o tempo local é ainda contínuo. Tratado como uma função de (em que está fixado), o tempo local é uma função singular correspondente à medida não atômica sobre o conjunto de zeros de .

Estas propriedades de continuidade são razoavelmente não triviais. Considere que o tempo local também possa ser definido (como a densidade da medida imagem) para uma função suave. Por consequência, entretanto, a densidade é descontínua, a não ser que a função dada seja monótona. Em outras palavras, há um conflito entre o bom comportamento de uma função e o bom comportamento de seu tempo local. Neste sentido, a continuidade do tempo local para o processo de Wiener é outra manifestação da não suavidade da trajetória

Processos relacionados

O processo estocástico definido por

é chamado de processo de Wiener com deriva e variância infinitesimal . Estes processos representam todos os processos de Lévy contínuos.

Dois processos aleatórios no intervalo de tempo aparecem, grosso modo, quando se condiciona o processo de Wiener a desaparecer nos dois extremos de . Quando não se condiciona mais, o processo assume tanto valores positivos, como negativos em e é chamado de ponte browniana. Condicionado a permanecer positivo em , o processo é chamado de excursão browniana. Em ambos os casos, um tratamento rigoroso envolve um procedimento limitante, já que a fórmula não se aplica quando .

Um movimento browniano geométrico pode ser escrito como

É um processo estocástico usado para modelar processos que nunca podem assumir valores negativos, tais como os valores de ações.

O processo estocástico

é distribuído como o processo de Ornstein-Uhlenbeck.

O tempo de chegada a um único ponto pelo processo de Wiener é uma variável aleatória com distribuição de Lévy. A família destas variáveis aleatórias (indexadas por todos os números positivos ) é uma modificação contínua à esquerda do processo de Lévy. A modificação contínua à direita deste processo é dada pelos tempos de primeira saída a partir de intervalos fechados .

O tempo local de um movimento browniano descreve o tempo que o processo passa no ponto . Formalmente,

em que é a função delta de Dirac. O comportamento do tempo local é caracterizado pelos teoremas de Ray-Knight.

Martingales brownianos