Identidade trigonométrica é uma identidade que envolve funções trigonométricas, sendo, pois, verdadeira para todos os valores das variáveis envolvidas. Com efeito, ela é útil sempre que expressões que contêm expressões trigonométricas devam ser simplificadas, ou, doutra sorte, substituídas com o propósito de conseguir uma nova transformação, mais útil para dada aplicação. Uma importante aplicação, exemplo notável da técnica de substituição, é a integração de funções não-trigonométricas: um recurso comum envolve primeiro usar a integração por substituição com uma função trigonométrica e então simplificar a integral resultante com uma identidade trigonométrica.
Notação
Ângulos
Ângulos são entidades geométricas definidas em geometria euclidiana plana ou tridimensional, podendo ser estendidos para geometrias não-euclidianas. Um ângulo, plano ou não, é caracterizado por sua abertura, e essa abertura pode ser medida. Embora sejam entidades distintas, sob o rigor lógico-matemático, costuma-se, por simplicidade de nomenclatura e notação (e de sentenças pertinentes), empregar o termo "ângulo" por "medida de ângulo", sempre que não houver comprometimento de ideias.
É usual utilizar letras gregas como alfa (α), beta (β), theta (θ) e phi (φ), ou letras latinas iniciais, como "a", "b", "c" etc., ou medianas ("m", "n", "p" etc.), para representar medidas de ângulos, que sejam conhecidos por generalidade e por princípio (a priori). Contudo, quando expressões matemáticas, que são sentenças lógico-matemáticas, envolverem medidas de ângulo como quantidades variáveis (variáveis matemáticas), devem-se preferir "x", "y", "z" etc., conforme convenção para variáveis. Assim, ao se escreverem expressões que representam relações, funções, igualdades, identidades ou equações com um ou mais argumento variável, os símbolos convencionais adequados a essa aplicação ("x", "y", "z" etc.) devem-se utilizar.
Várias unidades de ângulo são largamente utilizadas, incluindo grau, radiano e grado, além de reto, correspondente à medida de um ângulo reto: 1 volta completa = 360 graus = 2 radianos = 400 grados = 4 retos. A tabela a seguir mostra as conversões para alguns ângulos comuns: Graus 30° 60° 120° 150° 210° 240° 300° 330° Radianos Grados 33⅓ grados 66⅔ grados 133⅓ grados 166⅔ grados 233⅓ grados 266⅔ grados 333⅓ grados 366⅔ grados Graus 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360° Radianos Grados 50 grados 100 grados 150 grados 200 grados 250 grados 300 grados 350 grados 400 grados
Funções trigonométricas As funções trigonométricas básicas são o seno e o cosseno de um ângulo, justamente porque se pode escrever qualquer outra função trigonométrica a partir das funções seno e cosseno. A notação utilizada para essas funções é e , respectivamente, onde é o ângulo. Todavia as parênteses podem ser omitidas, ficando da seguinte forma: e.
A função tangente (escreve-se "" ou "" ) de um ângulo é a razão entre seno e o cosseno do mesmo ângulo:
.
Finalmente, as funções trigonométricas de razão recíproca, secante (), cossecante () e cotangente (), das funções cosseno, seno e tangente, respectivamente:
. thumb|Tabela de Trigonometria da Cyclopaedia (1728)
Funções inversas
As funções trigonométricas inversas são funções inversas parciais. Por exemplo a função inversa de seno é a função arco seno, denotada por ou por (essa ultima notação é pouco utilizada, pois costuma gerar confusão entre a função arcoseno e cossecante). Essas funções são utilizadas quando temos uma relação trigonométrica conhecida e deseja-se descobrir o ângulo que resulta em tal relação.
Por exemplo: sabendo-se que o , podemos dizer que .
Assim observa-se que, para essas funções, deve valer:eA tabela a seguir mostra as funções trigonométricas e suas respectivas inversas:
Função TrigonométricaSenoCossenoTangenteSecanteCossecanteCotangenteNotação Função InversaArco senoArco cossenoArco tangenteArco secanteArco cossecanteArco cotangenteNotação
Identidades pitagóricas
Existem diversas relações entre as funções trigonométricas. Essas relações são conhecidas como identidades trigonométricas ou identidades pitagóricas, justamente porque todas elas partem das relações estabelecidas pelo teorema de pitágoras.
A relação básica entre seno e cosseno é conhecida como Identidade Trigonométrica Fundamental, pois é a mais básica identidade pitagórica.
Esta identidade pode ser deduzida através do Teorema de Pitágoras, o que será demonstrado adiante.
Também existem outras duas identidades: e que são corolários da identidade trigonométrica fundamental.
Assim, existem três identidades pitagóricas:
Abaixo temos as demonstrações dessas identidades e, após, um quadro que relaciona todas as identidades à função trigonométrica que se deseja obter.
Relação fundamental miniaturadaimagem|270x270px|Relação entre seno e cosseno no círculo trigonométrico Vamos demonstração a relação fundamental:
Demonstração geométrica Seja o triângulo retângulo ACH, com catetos e e hipotenusa observa-se, como já foi demonstrado anteriormente que: e
Aplicando o teorema de Pitágoras:
Logo:
Corolários
1° Corolário Vamos demonstrar o seguinte corolário: miniaturadaimagem|357x357px|Relação entre secante e tangente no círculo trigonométrico
Demonstração Geométrica Seja o triângulo retângulo ADF, com catetos e e hipotenusa observa-se, como já foi demonstrado anteriormente que: e
Aplicando o teorema de Pitágoras:
Logo:
Demonstração Algébrica É possível demonstrar esse corolário através da relação fundamental dividindo todos os termos por da seguinte forma:
2° Corolário Vamos demonstrar o seguinte corolário: miniaturadaimagem|350x350px|Relação entre cossecante e cotangente no círculo trigonométrico
Demonstração Geométrica Seja o triângulo retângulo AEG, com catetos e e hipotenusa observa-se, como já foi demonstrado anteriormente que: e
Aplicando o teorema de Pitágoras:
Logo:
Ou, comutativamente:
Demonstração Algébrica É possível demonstrar esse corolário através da relação fundamental dividindo todos os termos por da seguinte forma:
Tendo em mente esses dois resultados podemos ainda demonstrar as seguintes relações:
e
+ Lista de relações entre funções trigonométricas.Abramowitz and Stegun, p. 73, 4.3.45 relacionado a <center>
Simetria Na tabela a seguir temos as relações de simetria entre diferentes tipos de ângulos e suas funções trigonométricas e em seguida suas devidas explicações e demonstrações. Ângulos replementaresAbramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.13–15 Ângulos complementares Ângulos suplementares
Simetria entre ângulos replementares
Chamamos de ângulo replementar o ângulo que, somado a outro, resulta em ou .
A seguir temos as explicações dessas relações e ao lado temos as verificações geométricas.
Seno e cosseno de ângulos replementares miniaturadaimagem|450x450px|Verificação Geométrica da simetria entre seno e cosseno no círculo trigonométrico unitário Para seno e cosseno de ângulos replementares temos as relações: , ou seja,os senos de dois ângulos replementares são iguais, porém com sinais opostos; , ou seja, os cossenos de dois ângulos replementares são iguais. Na figura ao lado temos a verificação geométrica dessas propriedades e a abaixo as demonstrações.
Demonstração geométrica A demonstração de é trivial, pois ambos são coincidentes (ambos são o mesmo segmento) o que pode ser observado na figura ao lado.
Para demonstrar que partiremos de congruência de triângulos.
Seja os ângulos e no ciclo trigonométrico unitário, conforme vemos na figura ao lado, temos:
Com base nisso e sabendo que teríamos que , uma vez que .
Porém, pela definição de seno no ciclo trigonométrico temos que , uma vez que o seno no 3° e no 4° quadrante são negativos.
Logo temos que e .
Tangente de ângulos replementares Para a tangente de ângulos replementares temos a relação: , ou seja, as tangentes de dois ângulos replementares são iguais, porém com sinais opostos. miniaturadaimagem|300x300px|Representação geométrica da simetria entre tangente de ângulos replementares. Na figura ao lado temos a verificação geométrica dessa propriedade e abaixo temos a demonstração algébrica.
Demonstração algébrica Para demonstrar que , partiremos da relação entre seno e cosseno.
Temos, pela definição de tangente, que a tangente de um ângulo é a razão entre o seno e cosseno do mesmo ângulo.
Assim, temos que:
Logo .
Cossecante e secante de ângulos replementares Para a cossecante e secante de ângulos replementares temos as relações: , ou seja, as cossecantes de dois ângulos replementares são iguais, porém com sinais opostos; , ou seja, as secantes de dois ângulos replementares são iguais. Na figura ao lado temos a verificação geométrica dessas propriedades abaixo temos as demonstrações algébricas. miniaturadaimagem|300x300px|Verificação geométrica da simetria entre secante e cossecante de ângulos replementares
Cossecante de ângulos replementares Para demonstrar que , partiremos da relação de simetria do seno.
Temos, pela definição de cossecante, que a cossecante de um ângulo é o inverso multiplicativo do seno do mesmo ângulo.
Assim, temos que:
Logo .
Secante de ângulos replementares Para demonstrar que , partiremos da relação de simetria do cosseno.
Temos, pela definição de secante, que a secante de um ângulo é o inverso multiplicativo do cosseno do mesmo ângulo.
Assim, temos que:
.
Logo .
Cotangente de ângulos replementares miniaturadaimagem|300x300px|Verificação geométrica da simetria entre cotangente de ângulos replementares Para a cotangente de ângulos replementares temos a relação: , ou seja, as cotangentes de dois ângulos replementares são iguais, porém com sinais opostos. Na figura ao lado temos a verificação geométrica dessa propriedade e abaixo temos a demonstração algébrica.
Demonstração algébrica Para demonstrar que é possível partir da relação de simetria entre tangente ou da relação de simetria entre seno e cosseno.
Utilizaremos aqui relação de simetria entre tangente.
Temos, pela definição de cotangente, que a cotangente de um ângulo é o inverso multiplicativo da tangente do mesmo ângulo.
Assim, temos que:
.
Logo .
Simetria entre ângulos complementares
Chamamos o ângulo complementar um ângulo que, quando somado a outro, resulta em ou .
A seguir temos as explicações e demonstrações dessas relações e suas verificações geométricas.
Seno e cosseno de ângulos complementares Para seno e cosseno de ângulos complementares temos as seguintes relações:
, ou seja, o cosseno de um ângulo é igual ao seno do seu complementar (ou vice-versa);
, ou seja, o seno de um ângulo é igual ao cosseno de seu complementar (ou vice versa). miniaturadaimagem|400x400px|Triângulo retângulo qualquer Na figura ao lado temos a verificação geométrica dessa propriedade e abaixo temos suas demonstrações
Demonstração para ângulos agudos Essa primeira demonstração se limita para ângulos agudos, pois utiliza a relação entre o seno e o cosseno dos ângulos não retos de um triângulo retângulo qualquer.
Para essa demonstração, então, utilizaremos o triângulo retângulo ao lado.
Nesse triângulo observamos que os ângulos não retos são complementares, pois a soma de todos os ângulos de um triângulo é .
Assim, primeiramente, vamos analisar as relações trigonométricas relativas ao ângulo e, em seguida, analisar as relações trigonométricas relativas ao ângulos :
.
Assim, conforme observamos nas relações acima temos:
e
.
Assim, demonstramos a relação de simetria entre seno e cosseno de ângulos agudos e complementares.
Demonstração no ciclo trigonométrico Queremos demonstrar que e .
Para isso partiremos dos triângulo s e .
Observe que nesses triângulos temos as seguintes relações:miniaturadaimagem|386x386px|Verificação geométrica da congruência de triângulos para seno e cosseno e ângulos complementares.
e