Em matemática, especialmente em teoria dos conjuntos, um número cardinal é denominado inacessível se é um cardinal regular, não enumerável e limite forte. Essa propriedade é chamada as vezes de fortemente inacessível e é considerada uma propriedade de grande cardinal.
Definição formal Um cardinal é inacessível se satisfaz as seguintes três propriedadesKUNEN (1980), p. 34.:
1) não é enumerável:
onde é o cardinal do conjunto dos números naturais .
2) é regular:
onde é a cofinalidade de .JECH (2006), p. 31.
3) é limite forte:
Um cardinal é fracamente inacessível ou inacessível no sentido fraco se satisfaz "1)" e "2)" acima, mas "3)" é substituída por:
3*) é cardinal limite:DRAKE(1974), p. 67.
Na literatura mais antiga, o termo "inacessível" já foi usado para se referir aos cardinais fracamente inacessíveis, criando uma certa ambiguidade.Por exemplo, ERDÖS TARSKI (1943), p. 316.
Em ZF mais a Hipótese Generalizada do Contínuum as propriedades "inacessível" e "fracamente inacessível" são equivalentes.HRBACEK JECH (2006), p. 168.
Cardinais inacessíveis e modelos de ZF Em ZFC, se é a hierarquia cumulativa de von Neumann, então, se é inacessível, então é um modelo de ZFC.DRAKE (1974), p. 109. Em particular, se é o primeiro inacessível, então é um modelo de ZFC + "não existem cardinais inacessíveis", demonstrando a consistência relativa enunciado "não existem cardinais inacessíveis",ou seja, a existência de cardinais inacessíveis não pode ser demonstrada em ZFC, se ZFC é consistente.KUNEN (1980), p. 133. Mas isso também implica que a consistência de ZFC + "existem cardinais inacessíveis" não pode ser demonstrada em ZFC, ao menos que ZFC seja inconsistente.KUNEN (1980), p. 145.
Com relação à cardinalidade do contínuo, se supormos a consistência de ZFC mais "existe um cardinal fracamente inacessível", então ZFC mais " é fracamente inacessível" também é consistente.KUNEN (1980), p. 281.
Cardinais inacessíveis e teoria de números Se denominarmos ZFCI à ZFC mais o enunciado "existe um cardinal inacessível", devido a que a consistência de ZFC pode ser demonstrada em ZFCI, essa última teoria demonstra mais enunciados de teoria de números, se ZFC é consistente:
a afirmação (mas não a negação) do axioma [sobre a existência de cardinais inacessíveis] implica novos teoremas sobre inteirosGÖDEL (1990), p. 267.
A demonstração do Teorema de Fermat efetuada por Wiles usa como pressuposto a existência de Universos de Grothendieck:
Grothendieck dá uma prova do que os pesquisadores de teoria dos conjuntos já sabiam: a definição de um universo em ZFC é o mesmo que dizer U é o conjunto de todos os conjuntos tomando valores menores que para algum cardinal não enumerável fortemente inacessível .MAC LARTY (2010), p. 360.
Em outras palavras, a demonstração de Wiles é realizada numa teoria mais forte que ZFC, como quando acrescentamos a existência de um cardinal inacessível. Entretanto, Mc Larty expressa a esperança de que essas hipóteses possam ser eliminadas e que o Teorema de Fermat possa ser demonstrado num fragmento da Aritmética de Peano, mas não propõe nenhuma linha demonstrativa de fazer isso, só possíveis caminhos.MAC LARTY (2010), p. 374.
Bibliografia
Categoria:Números Categoria:Cardinalidade Categoria:Teoria dos conjuntos