thumb|300px|Gráfico da função zeta para argumentos reais

thumb|350px|Visualização da função zeta de Riemann no plano complexo. Os zeros não triviais aparecem na linha Re(s)=1/2

A função zeta de Riemann, também função ζ de Riemann (em homenagem a Bernhard Riemann), é uma função de valor complexo, uma função matemática especial que desempenha um papel importante na teoria analítica dos números, um ramo da matemática. Foi considerada pela primeira vez no século XVIII por Leonhard Euler, que a investigou no contexto do Problema de Basileia. É normalmente denotada pela letra grega (Zeta).

Seu domínio abrange todos os números complexos, exceto o número . Para valores com parte real maior que , a função zeta de Riemann é definida por meio de uma Série de Dirichlet. Ela é dada por:

para

Por meio do prolongamento analítico, ela pode ser estendida para uma função holomorfa em . Ela satisfaz uma importante equação funcional, com a qual pode até mesmo ser caracterizada.

De grande importância para a teoria dos números é a conexão da função zeta com a fatoração em primos de números naturais. Com base nisso, Riemann conseguiu demonstrar em 1859 a relação muito estreita e não óbvia entre os números primos e a localização dos zeros da função zeta. Assim, do fato de que para todos os números complexos com , já se conclui que o -ésimo número primo tem "muito precisamente" o valor – mais exatamente, segue que:E. Freitag, R. Busam: Funktionentheorie 1, Springer; Edição: 4. Aufl. 2006, ISBN 978-3-540-31764-7, p. 440

Aqui, denota o logaritmo natural de . Informações mais precisas sobre regiões livres de zeros tornam o quadro da distribuição dos números primos mais claro. A ainda não provada Hipótese de Riemann afirma que todos os zeros não triviais da função zeta de Riemann têm parte real , ou seja, estão em uma reta comum. Se essa conjectura é verdadeira, é um dos mais importantes problemas não resolvidos da matemática. Devido à importância dos números primos para os modernos criptossistemas (como, por exemplo, a criptografia RSA), a hipótese de Riemann também atrai atenção fora da teoria pura dos números.

O comportamento da função zeta de Riemann nas regiões e é considerado bem compreendido. No entanto, suas propriedades dentro da faixa crítica são em grande parte desconhecidas e objeto de importantes conjecturas. Isso diz respeito, entre outras coisas, às questões sobre o crescimento assintótico na direção imaginária e a distribuição de zeros, que é tão importante para a teoria dos números. De acordo com o estado atual do conhecimento, a função zeta na faixa descreve essencialmente o caos. Os valores dos zeros constroem pontes não apenas para a teoria dos números primos, mas muito provavelmente também para a física quântica moderna. Outras áreas de aplicação são a teoria das probabilidades e a teoria das formas automórficas (especialmente no campo do Programa Langlands).

Do ponto de vista da teoria algébrica dos números, a função zeta de Riemann é apenas um caso especial de toda uma classe das chamadas funções L. Assim, ela corresponde à Função L de Dirichlet associada ao caráter trivial módulo 1 e à Função zeta de Dedekind correspondente ao corpo de números (números racionais).

Devido à importância primordial da hipótese de Riemann para a teoria dos números e suas aplicações, o tema da função zeta de Riemann permanece uma área de intensa pesquisa matemática. Progressos decisivos foram alcançados por matemáticos como, por exemplo, Lindelöf, Hadamard, de La Vallée Poussin, Hardy, Littlewood, Selberg, Woronin e Conrey.

Notação Em todo o artigo, denota a unidade imaginária e o número de Euler. Além disso, é frequentemente usada como uma variável complexa, que muitas vezes é decomposta em .

Ademais, a notação O de Landau é frequentemente usada para indicar o tamanho dos erros. Se duas funções (não limitadas) e se comportam da mesma forma para argumentos crescentes, ou seja, se , então isso é denotado por .

Contextualização sem conhecimentos matemáticos prévios

Motivação miniaturadaimagem|Para cada número primo, a função de contagem dá um passo para cima em uma escada infinitamente longa e alta. A previsão "serpenteia" constantemente ao redor da função de contagem. No entanto, para valores muito grandes, espera-se uma distância cada vez maior entre a escada e a previsão miniaturadaimagem|Os zeros da função zeta corrigem a previsão até um termo exato. Quanto mais dos infinitos zeros são incluídos, mais precisa é a aproximação. A imagem mostra a correção de 100 pares de zeros No centro da Teoria dos números, o ramo da matemática que lida com as propriedades dos números naturais 1, 2, 3, 4..., estão os números primos 2, 3, 5, 7, 11... Estes distinguem-se pela propriedade de ter exatamente dois divisores, nomeadamente o 1 e eles próprios. O 1 não é um número primo. Já Euclides pôde demonstrar que existem infinitos números primos, e é por isso que a lista 2, 3, 5, 7, 11... nunca terminará.

Os números primos são, em certo sentido, os átomos dos números inteiros, uma vez que todo número inteiro positivo pode ser decomposto multiplicativamente de forma única neles. Por exemplo, 21 = 3 · 7 e 110 = 2 · 5 · 11. Apesar desta propriedade elementar, após vários milênios de história da matemática, ainda não é conhecido nenhum padrão ao qual os números primos se submetam em sua sequência. Sua natureza é uma das questões em aberto mais significativas da matemática.

Mesmo que a compreensão detalhada da sequência 2, 3, 5, 7, 11... seja inatingível, pode-se procurar por padrões ampliando a perspectiva. Para isso, ajuda, por exemplo, a ideia de que, com o auxílio de métodos estatísticos, o comportamento de muitas pessoas (por exemplo, no que diz respeito ao comportamento de consumo e eleitoral) pode muitas vezes ser descrito de forma surpreendentemente precisa, embora um indivíduo isolado seja extremamente complexo. Em termos gerais, isso tem a ver com o fato de que quantidades crescentes de dados relevantes fornecem informações cada vez mais confiáveis.cf. Arpita Kar, M. Ram Murty: The Central Limit Theorem in Algebra and Number Theory, In: B. Ramakrishnan, Bernhard Heim, Brundaban Sahu (eds.): Modular Forms and Related Topics in Number Theory, p. 101. No caso dos números primos, essa ampliação leva, entre outras coisas, à questão de quantos números primos existem abaixo de um determinado número fixo.

Por exemplo, apenas 4 números primos, a saber, 2, 3, 5 e 7, são menores que o número 10. No caso de 50, já existem 15 números primos menores, a saber:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

No final do século XIX, como consequência do Teorema dos números primos, pôde ser provada uma estimativa surpreendentemente precisa para a distribuição dos números primos. O teorema dos números primos já havia sido conjecturado no século XVIII pelo jovem Gauss de 15 anos (nos anos de 1792/93).Carl Friedrich Gauss Werke, Segundo Volume, Publicado pela Sociedade Real de Ciências de Göttingen, 1863, pp. 444–447 (). A estimativa já havia sido dada por Riemann antes de uma prova do teorema dos números primos e surge como uma fórmula que permite o cálculo rápido de um valor preditivo. Com essa fórmula, para um determinado número, a quantidade de números primos menores que esse número pode ser estimada em um tempo razoável. A fórmula de previsão torna-se percentualmente cada vez mais precisa quanto maior for o número escolhido (embora com flutuações). Por exemplo, para o valor 50, ela fornece a previsão de 14,97 (na verdade, existem 15 números primos, veja acima), de modo que o erro é de 0,16 por cento. Além disso, ela prevê cerca de 78.527 números primos abaixo do número 1.000.000 – na verdade, são 78.498. Isso corresponde a um desvio de 0,037 por cento.

Uma ferramenta possível para provar essa fórmula é a função zeta de Riemann. Aqui, aproveita-se o fato de que ela expressa a lei da fatoração única em números primos na linguagem da análise. Portanto, as propriedades dos números primos ficam armazenadas ocultamente nessa função. Se o conhecimento sobre a função zeta aumentar, também aumentará o conhecimento sobre os números primos, até mesmo em questões mais detalhadas. Assim, muitos testes de primalidade, como o de Miller-Rabin, podem ser provados ou melhorados assumindo a Hipótese de Riemann.Miller, Gary L. (1976), Riemann’s Hypothesis and Tests for Primality, Journal of Computer and System Sciences, 13 (3): 300–317,

Os zeros da função zeta geram um termo de correção para a fórmula acima, que a transforma em uma expressão exata. Esta fórmula exata resultante, portanto, conhece a distribuição dos números primos até o último detalhe. No entanto, as questões em torno dos números primos não são consideradas resolvidas com isso: o esforço computacional aumenta muito com o aumento dos valores e, portanto, cálculos práticos com esta fórmula não são eficientes. Para a pesquisa numérica, em contraste, os testes de primalidade modernos são mais adequados. No entanto, a fórmula exata é de interesse teórico: ela abriga, nomeadamente, a margem de erro entre a previsão simples e a distribuição real dos números primos. Supõe-se que esse erro (dentro do espectro de todas as possibilidades) seja o menor possível. Desvendar esse erro não seria tão relevante para a numérica. Pelo contrário, a matemática pura se esforça para descobrir a razão até então oculta pela qual o erro (se for o caso) se revela o menor possível.

Os números primos não são apenas objeto de pesquisa matemática básica, mas também têm aplicações práticas. Por exemplo, em criptossistemas como a criptografia RSA, são usados números primos muito grandes.

Como "funciona" a função zeta? Uma função matemática é basicamente como uma máquina de calcular. Insere-se um valor na função e ela fornece um resultado dependendo do valor de entrada, pelo menos teoricamente. O que se quer dizer com isso é que a função em si não faz cálculos, mas na maioria das vezes apenas registra uma regra de cálculo em forma de fórmula. Um exemplo simples de função é a função quadrática, que multiplica a entrada por si mesma. Em forma de fórmula, escreve-se isso como . Assim, a função quadrática atribui ao número , por exemplo, o valor . Calculando isso, resulta , ou seja, .

Em princípio, a função zeta de Riemann funciona exatamente como o exemplo acima, exceto que a regra de cálculo é um pouco mais complicada. Para entendê-la, o conceito de séries infinitas deve ser conhecido. Grosso modo, uma série (convergente) é uma soma de números que nunca termina e que se aproxima cada vez mais de um número. Um exemplo elementar e não trivial de uma série baseia-se no número , que na notação decimal não é fechado, mas só pode ser escrito pela dízima periódica infinita

Olhando mais de perto, vê-se que esta é exatamente a soma de todos os inversos das potências de 10:

Para que a soma infinitamente longa se aproxime de um valor, deve-se garantir que os somandos se tornem "pequenos com rapidez suficiente".

A função zeta de Riemann é agora comparável a uma máquina de calcular que, para um determinado número , forma a soma infinita dos inversos de todas as potências naturais com este expoente. Como fórmula matemática, essa regra é

.

Para entender isso melhor, considere o exemplo da entrada . As potências naturais com este expoente são precisamente os quadrados perfeitos 1, 4, 9, 16, 25... Assim, o resultado da máquina de calcular zeta em função do valor de entrada 2 seria a série

Verifica-se que as expressões tornam-se pequenas com rapidez suficiente, de modo que esta soma infinitamente longa se aproxima arbitrariamente de um certo valor numérico quanto mais se soma. Experimentalmente, pode-se notar:

e se formos até o milionésimo quadrado perfeito

Como muitos termos já foram adicionados aqui, pode-se presumir que já está bem próximo do resultado exato. O limite exato, como Leonhard Euler pôde justificar, é o número

.