O Lema de Jordan em conjunto com o teorema dos resíduos, é utilizado para calcular integrais no plano complexo. É denominado em memória de Camille Jordan.
Definições
Definição 1
Sejam CR uma semicircunferência de raio R no semiplano superior e centrada na origem e f(z) uma função que, para arg(z)∈[o,π], converge uniformemente a zero mais rápido que quando |z|→, ou seja,
Definição 2
Consideremos a integral :, com ΓR = {Z=Reiθ, 0≤θ≤π} e α>0 e se a função f é da forma : Suponhamos que f(z) seja analítica neste semi-plano exceto em um número finito de pontos e que o valor máximo de módulo de f(Z) para z∈ΓR tende a zero quando R tende ao infinito então:
Aplicações
Dentre outras aplicações o Lema de Jordam é fundamental para os seguintes cálculos: integrais reais via variáveis complexas, Transformada de Laplace Inversa, Transformada de Fourier Inversa, dentre outros.
Nestes cálculos, boa parte da dificuldade está em escolher um contorno de integração e uma função convenientes.
Demonstração
Por definição:
Utilizando e a simetria = , temos:
De fato o é concavo neste intervalo , logo, o gráfico estará acima da linha , consequentemente
portanto, como , temos:
Exemplo Calcule a seguinte integral:
Resolução
Seja a função:
Nesta ache as singularidades (igualando a zero o denominador)
Desenhando a curva, nota-se que a singularidade de f no plano se encontra apenas na metade superior, em z = i , assim...
E, por f ser de polo simples
Assim,
Utilizando o lema de jordan, quando R →, temos
,pela substituição z = R eiθ (lembrando que eiθ = cos(θ) + i sen(θ) é uma função limitada, entre 1 e -1)
Contudo, quando R →:
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