O método da redução de ordem é utilizado para se determinar a solução de uma equação diferencial ordinária e homogênea de segunda ordem.
Suponha que seja conhecida uma solução , não identicamente nula, de
. (1)
Para encontrar uma segunda solução, seja
(2)
então,
e
Substituindo essas expressões para e na equação (1) e unindo os termos, encontramos:
.
A equação acima é, de fato, uma equação de primeira ordem para a função e pode ser resolvida como uma equação de primeira ordem ou como uma equação separável. Assim, uma vez encontrada , é obtida por integração.
Finalmente, a solução é determinada da equação (2). Este procedimento é chamado método da redução de ordem, já que o passo crucial é a resolução de uma equação diferencial de primeira ordem para em vez da equação de segunda ordem original para .
2× + y= 6
Dado que é uma solução de
(3)
,
encontrar uma segunda solução linearmente independente.
Vamos fazer , então:
,
.
Substituindo e na equação (3) e unindo os termos, obtemos:
(4)
Note que o coeficiente de v é nulo, como deveria. Separando as variáveis na equação (4) e resolvendo para v'(t), encontramos:
então,
.
Segue que
,
onde c e k são constantes arbitrárias. A segunda parcela desta última equação é um múltiplo de e pode ser retirada, mas a primeira parcela nos dá uma solução nova independente. Desprezando a constante multiplicativa, temos:
.
Ver também Método do fator integrante Equações separáveis Método da variação de parâmetros Equação diferencial exata Coeficientes a determinar Métodos numéricos/Equações diferenciais ordinárias (wikilivro)
Categoria:Equações diferenciais Categoria:Jean Le Rond d'Alembert