Definição Uma equação diferencial é dita separável ou de variáveis separáveis se pode ser escrita na formaBOYCE, W. E; DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. Rio de Janeiro: LTC,2006. Página 24.:
ou
Para resolvermos uma equação diferencial separável, basta separarmos as variáveis e em seguida integramos ambos os membros.
Observação
Quando a variável independente não aparece explicitamente, ou seja, quando h(x) ou v(x) é uma função constante, a equação diferencial é chamada autônoma.
Método
Seja a EDO de 1ª ordem (1). Podemos obter a solução geral para esta EDO por separação de variáveis:
⇒
que pode ser integrada diretamente como:
onde C é a constante de integração. Para obtermos uma solução particular (ou seja, um valor específico para a constante C), é necessário fornecer uma condição de contorno para a equação (1).LIMA, H.G. Equações Diferenciais Lineares. Pombal-PB: Centro de Ciências e Tecnologia Agroalimentar. Página 13.
Exemplo Propagação de Praga
Sabendo que em uma população isolada com P indivíduos, o número de contaminados por uma doença no instante t, , varia em uma taxa proporcional ao número de indivíduos contaminados e não-contaminados. Escrever e resolver a Equação diferencial ordinária associada a este problema.
Solução
, como esta equação é do tipo separável, temos: .
Integrando em ambos os lados, segue que:
. Resolvendo por frações parciais, obtemos: .
Segue um sistema onde:
, com isso , .
Logo temos a seguinte integral:
.
Resolvendo a integral, temos:
, onde C é uma constante.
, assim:
.
Com isso, a solução desta equação é expressa por:
.
Ver também Método do fator integrante Método da variação de parâmetros Equação diferencial exata Redução de ordem Coeficientes a determinar Métodos numéricos/Equações diferenciais ordinárias (wikilivro)
Categoria:Equações diferenciais