Na matemática, cotas para raízes de polinômios são estimativas para a grandeza do módulos das raízes de uma função polinomial, isto é, uma função do tipo:

onde os coeficientes são números complexos e . Tais cotas localizam as raízes da função polinomial em uma região limitada do plano complexo, normalmente um círculo. Teorema Fundamental da álgebra

O teorema fundamental da álgebra diz que "um polinômio de grau n tem n raízes se forem considerados as raízes reais e imaginárias com seu grau de multiplicidade." A partir desse teorema podemos escrever um polinômio de grau com raízes de uma maneira diferente:

Onde:

e o é o coeficiente de e é o grau de multiplicidade da raiz

Cota de Laguerre-Thibault O teorema de Laguerre diz que dado um polinômio com coeficientes reais e dado um número, obtemos . Se os coeficientes de e forem todos positivos ou nulos, então teremos que todas as raízes reais positivas verificam . Dado com coecientes reais, fazendo a deflação de por , , ..., até , onde tenha todos os seus coeficientes positivos ou nulos, assim como tal é conhecido como cota superior das raízes reais de . Para determinar a cota inferior deve se fazer o mesmo procedimento para e assim tem-se a cota inferior. Por exemplo: Dado o polinômio . Consideramos a tarefa de localizar as raízes de .

1 -3 2 -5 20 -10 1 1 -2 0 -5 15 1 -2 0 -5 15 5

1 -3 2 -5 20 -10 2 2 -2 0 -10 20 1 -1 0 -5 10 10

1 -3 2 -5 20 -10 3 3 0 6 3 69 1 0 2 1 23 59

Portando temos que todas as raízes positivas de são menores que . Conclui-se que é cota superior de .

Para localizar as raízes negativas faz-se o mesmo procedimento, porém, agora o procedimento é aplicado ao polinômio obtido ao multiplicar-se por .

1 3 2 5 20 10 1 1 4 6 11 31 1 4 6 11 31 41

Portanto temos que todas as raízes negativas de são maiores que . Conclui-se que é Cota inferior de . Temos então que as raízes de pertencem ao intervalo .

Cota de Kojima Tendo a sequencia de valores com Assim todas as raízes de encontram-se no círculo do plano complexo onde o raio é a soma dos dois maiores valores da sequencia. Por exemplo: Dado o polinômio Verificamos que a série de fatores é: . Concluimos que a cota de Kojima é:

Cota de Cauchy Dado um polinômio , tem-se que toda raiz real ou complexa da equação obedece a relação: . Onde temos que:

Tendo o processo interativo com

Por exemplo: Dado o polinômio determine a cota de Cauchy.

Temos então:

Com , o processo interativo converge a .

Categoria:Polinómios