Em matemática, mais especificamente em teoria da ordem, uma pré-ordem ou quase-ordem é uma relação binária reflexiva e transitiva. Toda ordem parcial ou relação de equivalência é também uma pré-ordem.
Definição formal
Seja A um conjunto e R uma relação binária sobre A (ou seja, R subconjunto de AxA). Então, R é uma pré-ordem sobre A se, e somente se, R é reflexiva e transitiva. Isto é:
(propriedade reflexiva)
(propriedade transitiva)
Muitas vezes é usada a notação de par ordenado. Neste caso, escreveríamos: é uma pré-ordem.
Exemplos Todo espaço topológico finito gera uma pré-ordem nos seus pontos, na qual x ≤ y se, e somente se, x pertence a toda vizinhança de y. Sobre os arcos de um grafo orientado, a relação ser acessível por é uma pré-ordem. Se o digrafo é acíclico, essa relação vira uma ordem. Em um anel comutativo, a relação divide é uma pré-ordem. Seja um monoide. Definimos a relação em como . Assim, é uma pré-ordem. A relação definida por , injetora. Dada uma relação de pré-ordem , então, também é uma pré-ordem. Uma categoria com no máximo um morfismo de algum objeto para algum outro objeto é uma pré-ordem. Neste sentido, categorias "generalizam" pré-ordens aceitando mais do que uma relação entre objetos: cada morfismo é uma relação de pré-ordem diferente. Considere o conjunto de todas as funções do conjunto dos números naturais em . Definimos a relação para como
(considerando como a ordem natural de ). Então é uma pré-ordem.
Usos Toda pré-ordem pode gerar uma topologia, Topologia de Alexandrov e, de fato, toda pré-ordem admite uma bijeção com uma topologia de Alexandrov neste conjunto. Pré-ordens podem ser usadas para definir álgebras interiores. Pré-ordens induzem a semântica de Kripke para certos tipos de lógicas modais.
Esquema de temas relacionados + Teoria da ordem Bem ordenado Ordem total Parcialmente ordenado Pré-ordenado Relação reflexiva Relação transitiva Relação antissimétrica Relação total Relação bem-fundada
Ver também Relação de ordem - pré-ordem que é também antissimétrica. Relação de equivalência - pré-ordem que é também uma relação simétrica. Ordem total - pré-ordem que é também total e antissimétrica. Lema de Newman
Bibliografia
Categoria:Teoria da ordem