Valoração, em álgebra abstrata, é uma função que associa a cada elemento um valor ordenado.

Existem várias definições diferentes na literatura, que variam, inclusive, sobre o tipo de objeto que está sendo valorado, e sobre qual é o resultado da valoração.

Um exemplo de valoração está associado ao grau de um polinômio.Cindy Tsang, Generalized Valuations [em linha] Seja K um corpo qualquer, e seja K(X) o corpo das funções racionais em K, ou seja, cada elemento de f de K(X) pode ser escrito (não de forma única) como:

em que g e h são polinômios em k[X]. Então, a função definida A rigor, é preciso mostrar que esta definição está correta, ou seja, é preciso mostrar que se f for escrito de duas formas diferentes, por exemplo f = g1 / h1 = g2 / h2, então a fórmula para v(f) dará o mesmo resultado quando aplicada para g1 / h1 ou para g2 / h2 como No texto de Cindy Tsang, há um erro tipográfico, e a função v é definida com o sinal trocado.

satisfaz às seguintes propriedades: O único elemento f cuja valoração é infinita é o zero v(x y) = v(x) + v(y) v(x + y) ≥ min(v(x), v(y))

Como outro exemplo, seja x um número racional não nulo, e defina-se v(x) como a maior potência de 2 (incluindo potências negativas) que podemos extrair, por divisão, de x, para que o resultado seja um número cujo denominador é ímpar. Por exemplo, v(14) = 1,No texto de Ravi Vakil, há um erro tipográfico, e está escrito v(14) = 2. v(3) = 0 e v(13/12) = -2. Observa-se, igualmente, que esta função satisfaz:Ravi Vakil, Introduction to Algebraic Geometry, Class 16 [em linha] v(x y) = v(x) + v(y) v(x + y) ≥ min(v(x), v(y))

Definições O que todos estes exemplos tem em comum é que temos, como conjunto sendo valorado, um conjunto em que existem operações de soma e produto e o elemento zero, e no conjunto destino uma operação binária e uma relação de ordem. Para que a definição faça sentido, é conveniente que o conjunto de partida tenha determinadas propriedades algébricas (como comutatividade da soma, e não haver divisores de zero), e que o conjunto de destino também tenha outras propriedades elementares (como associatividade da soma). Assim, é comum que a definição de uma valoração seja feita com domínio em conjuntos K que são corpos, ou quase isto (ou seja, um corpo não comutativo, que tem todas propriedades de um corpo exceto que a multiplicação não é comutativa, ou um domínio de integridade, em que a propriedade que falta é a existência do inverso multiplicativo). O contradomínio costuma ser um grupo ordenado, normalmente o conjunto dos números inteiros ou conjunto dos números reais, ao qual é adicionado o infinito.

Mais especificamente, temos as seguintes definições:A. R. Wadsworth, Valuation Theory on Finite Dimensional Division Algebras, p.5 [em linha] Uma valoração é uma função

satisfazendo as propriedades:No texto de A. H. Wadsworth, a função valoração é definida apenas para elementos que não são zero, então o contradomínio é um grupo ordenado, sem o infinito, não existe a propriedade de v(0), e a propriedade de v(x + y) só se aplica a valores de x, y e x+y quando nenhum deles é zero.

em que: K é um corpo, um anel de divisão ou um domínio de integridade e ou ou G é um grupo ordenado qualquer.

No caso em que o contradomínio da valoração é o conjunto dos números inteiros (com a inclusão do infinito, para ) a valoração é chamada de valoração discreta.

Uma definição que gera resultados semelhantes é considerar o contradomínio da valoração não como um grupo aditivo, mas como um grupo multiplicativo, ou, mais especificamente, como o conjunto dos números reais positivos. Então, em vez de incluir o infinito, inclui-se o zero, sendo necessário ajustar as propriedades de v(0) e v(x + y), a primeira para que v(0) = 0, e a segunda considerando uma inversão da ordem. Uma valoração genérica teria, em vez da terceira propriedade, a desigualdade triangular, ou seja, v(x + y) ≤ v(x) + v(y); para evitar ambiguidade, define-se uma valoração não arquimediana. Mais especificamente:

Uma valoração não arquimediana é uma funçãoWim H. Schikhof, Banach Spaces over Non-Arquimedian Valued Fields, p.548 [em linha]

satisfazendo:

em que K é um corpo.

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