Corpo das funções racionais, em álgebra, se refere ao corpo cujos elementos são a divisão entre dois polinômios, dotado de operações de soma e produto que satisfazem as operações usuais de frações.
Assim como o termo polinômio pode significar uma função polinomial ou pode significar um polinômio no sentido formal,No caso dos números racionais ou números reais, existe uma identidade entre as funções polinomiais e os polinômios, mas isto não é válido para corpos finitos. Por exemplo, em , o corpo GL(2) que possui apenas dois elementos, a função polinomial f(x) = x2 + x + 1 é igual à função polinomial f(x) = 1, porém os polinômios p(x) = x2 + x + 1 e q(x) = 1 são distintos. o corpo das funções racionais também pode significar dois objetos matemáticos, um corpo formado por funções, ou um corpo definido de forma abstrata.
Construção como um corpo de funções O corpo da funções racionais com elementos reais pode ser rigorosamente construído a partir das funções racionais. Uma função racional é uma função que pode ser escrita como:
em que bn ≠ 0. Pode-se supor, sem perda de generalidade, que bn = 1.H. B. Enderton, Field of Rational Functions [em linha]
Um cuidado importante deve ser tomado na definição de igualdade entre duas funções racionais. Pois pode ocorrer que duas funções racionais f e g possam ter domínios diferentes, como no caso em que o numerador e o denominador de f não tenha fatores comuns, mas eles tenham algum fator comum em g, e este fator comum tenha raízes reais. Assim, a igualdade f = g deve ser definida a menos de um número finito de elementos, ou seja, quando para todo x real, exceto um conjunto finito, f(x) = g(x).
Para definir F, o corpo das funções racionais, é preciso definir a soma (+), o produto (.) e os elementos neutros destas operações, respectivamente 0 e 1. Os elementos neutros são as funções constantes, ou seja 0F é a função constante 0F(x) = 0, etc.A notação 0F é usada em outros textos de matemática para deixar claro que o zero do corpo dos polinômios não é a mesma coisa que o zero dos números reais. No texto de Enderton, o mesmo símbolo é usado para os dois zeros.
Um cuidado adicional é necessário para se definir f + g e f . g, pois as definições usuais através de frações:
tem o problema de que o resultado da operação é uma função racional cujo domínio é pelo menos tão restrito quanto f e g, ou seja, seu domínio é . Então, a definição rigorosa de f + g e f . g consiste em aplicar estas fórmulas e cancelar os fatores comuns no resultado.
Exemplificando, sejam:
que são funções racionais cujo domínio exclui os números 1 e -1. Sua soma f + g é a função:
que é uma função cujo domínio inclui -1 mas não inclui 1.
Com estas definições, temos o seguinte teorema: F, com +, ., 0 e 1 definidos acima, é um corpoa demonstração dá algum trabalho, pois é preciso, a cada etapa, remover as singularidades das operações. O inverso aditivo é trivial, -f é a função (-f)(x) = -f(x), e o inverso multiplicativo, chamado f-1 Enderton chama a atenção para o cuidado que se deve tomar com esta notação, pois, normalmente, f-1 é a notação da função inversa. é definido naturalmente como: f = p/q então f-1 = q/pe é imediato mostrar que f(x) . f-1(x) = 1 para todo real x, exceto nos pontos que não estão nos domínios de f e f-1, o que completa a demonstração.
Como para todo número real existe uma função racional constante cujo contradomínio é este número, o corpo dos números reais pode ser considerado um subcorpo do corpo das funções racionais.
Construção como o corpo de frações do anel dos polinômios Dado um domínio de integridade D, existe um único (a menos de isomorfismo) corpo de frações F de D, que é, formalmente, dado pelas classes de equivalência r/s, com r e s elementos de D.Garrett, Abstract Algebra, 2. Fields of fractions, fields of rational functions [em linha]
Dado um corpo K qualquer, K[x], o anel dos polinômios em K, é um domínio de integridade. O corpo das funções racionais em K, definido como K(x), é o corpo de frações deste domínio de integridade.
Quando α é um elemento transcendente sobre K, então o corpo K(α) é isomórfico ao corpo das funções racionais em K.
Como um corpo ordenado No caso do corpo das funções racionais reais,A construção se aplica para qualquer outro corpo ordenado. é possível construir uma relação de ordem total de forma que este corpo seja um corpo ordenado.
Intuitivamente, esta relação é definida considerando-se a função racional f(x) = x como sendo infinitamente grande, ou seja, 1 < x, 2 < x, 3 < x, etc.
Formalmente, um elemento do corpo das funções racionais
é considerado positivo se, e somente se, am > 0''.
Este corpo ordenado é não arquimediano.
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