Em álgebra linear, um menor de uma matriz A é o determinante de alguma matriz quadrada, obtida a partir de A pela remoção de uma ou mais de suas linhas ou colunas. Menores obtidos pela remoção de exatamente uma linha e uma coluna de matrizes quadradas (primeiros menores) são requeridos para calcular cofatores de matrizes, que por sua vez, são úteis para calcular o determinante e a inversa de matrizes quadradas.

Definição e ilustração Primeiros menores Se A é uma matriz quadrada, então o menor da entrada na i-ésima linha e j-ésima coluna (também chamado de menor (i,j), ou de primeiro menorBurnside, William Snow & Panton, Arthur William (1886) Teoria de Equações: com uma Introdução à Teoria de Binário Forma Algébrica.) é o determinante da submatriz formada ao eliminar a i-ésima linha e a j-ésima coluna. Este número é geralmente indicado por Mi,j. O cofator (i,j) é obtido multiplicando-se o menor por

Para ilustrar essas definições, considere a seguinte matriz 3 por 3,

Para calcular o menor M23 e o cofactor C23, encontra-se o determinante da matriz que resulta ao remover a linha 2 e a coluna 3 da matriz acima.

Assim, o cofator da entrada (2,3) é

Definição geral Seja A uma matriz m × n e k um número inteiro com 0 < k ≤ m, e k ≤ n. Um menor k × k de A, também chamado de determinante menor de ordem k de A ou, se (n-k):ésimo determinante menor de A, frequentemente omitindo a palavra "determinante" e às vezes substituindo a palavra "ordem" por "grau", é o determinante de uma matriz k × k obtida de A eliminando m − k linhas e n − k colunas. Às vezes o termo é usado para se referir à matriz k × k obtida a partir de A como acima (excluindo m − k linhas e n − k colunas), mas ela deveria ser chamada apenas de submatriz (quadrada) de A, deixando o termo "menor" para se referir ao determinante desta matriz. Para uma matriz A como acima, há um total de menores de tamanho k × k. Um menor de ordem zero é muitas vezes definido como sendo 1. Para uma matriz quadrada, o zerésimo menor é apenas o determinante da matriz.Elementares de Álgebra Matricial (Terceira edição), Franz E. Hohn, A Macmillan Company, 1973, ISBN 978-0-02-355950-1Menor.

Sejam sequências ordenadas (em ordem natural, como geralmente é assumido ao falar de menores, salvo indicação em contrário) de índices, e denote-as por e respectivamente. O menor correspondente a estas escolhas de índices é denotado por ou ou ou ou (em que o (i) denota a sequência de índices I etc.), dependendo da fonte. Também há dois tipos de notações usadas na literatura: por menor associado às sequências ordenadas de índices I e J, alguns autoresÁlgebra Linear e Geometria, Igor R. Shafarevich, Alexey O. Remizov, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013, ISBN 978-3-642-30993-9 querem dizer o determinante da matriz que é formada como acima, pegando os elementos da matriz original das linhas cujos índices estão em I e cujas colunas estão em J, enquanto que outros autores se referem a um menor associado a I e J como sendo o determinante da matriz formada a partir da matriz original removendo as linhas em I e as colunas em J. Deve-se sempre checar a fonte consultada para saber qual convenção é utilizada. Neste artigo, utiliza-se a definição inclusiva, escolhendo os elementos das linhas de I e colunas de J. A exceção é o primeiro menor ou o menor (i,j) descrito acima; neste caso, a notação exclusiva é padrão em toda a literatura e também é usada neste artigo.

Complemento O complemento Bijk...,pqr..., de um menor, Mijk...,pqr..., de uma matriz quadrada, A, é formado pelo determinante da matriz A da qual todas as linhas (ijk...) e colunas (pqr...) associadas com Mijk...,pqr... foram removidas. O complemento do primeiro menor de um elemento aij é apenas esse elemento.Bertha Jeffreys, Métodos de Física Matemática, p.135, Cambridge University Press, 1999 ISBN 0-521-66402-0.

Aplicações de menores e cofatores Expansão do determinante por cofatores

Os cofatores aparecem com destaque na fórmula de Laplace para a expansão de determinantes, que é um método para calcular grandes maiores determinantes em função de determinantes menores. Dado uma matriz de ordem o determinante de A (representado por det(A)) pode ser escrito como a soma dos cofatores de qualquer linha ou coluna da matriz multiplicados pelas entradas que os geraram. Em outras palavras, a expansão por cofatores ao longo da jésima coluna é:

A expansão por cofatores ao longo da iésima linha resulta em:

Inversa de uma matriz Pode-se escrever a inversa de uma matriz invertível calculando-se os cofatores por meio da regra de Cramer, como segue. A matriz formada por todos os cofatores de uma matriz quadrada A é chamada de matriz de cofatores (também chamada de comatriz):

Então a inversa de A é a transposta da matriz de cofatores vezes o recíproco do determinante de A:

A transposta da matriz de cofatores é chamada de matriz adjunta (também considerada como a adjunta clássica) de A.

A fórmula acima pode ser generalizada da seguinte forma: Sejam sequências ordenadas (na ordem natural) de índices (aqui, A é uma matriz ). Então

em que denotam as sequências ordenadas de índices (os índices estão na ordem natural de magnitude como acima) complementares a de modo que cada índice aparece exatamente uma vez em ou em mas não em ambos (analogamente para e ) e denota o determinante da submatriz de A formada escolhendo as linhas do conjunto de índices e as colunas do conjunto de índices. Além disso, Uma demonstração simples é dada em termos do produto wedge. De fato,

em que são os vetores da base. Fazendo a ação de comem ambos os membros, obtém-se

Pode-se verificar que o sinal é e é determinado pela soma dos elementos em

Outras aplicações Dada uma matriz m × n matriz com entradas reais (ou entradas em qualquer outro corpo) e posto r, então existe pelo menos um menor r × r não nulo, tal que todos os menores de ordem superior são nulos.

Será utilizada a seguinte notação para os menores: se A é uma matriz m × n, I é um subconjunto de {1,...,m} com k elementos e J é um subconjunto de {1,...,n} com k elementos, então escreve-se [A]I,J para indicar o menor k × k de A que corresponde às linhas com o índice em I e as colunas com índice em J. Se I = J então [A]I,J é considerado um menor principal. Se a matriz que corresponde a um menor principal é uma parte quadrada da região superior esquerda da matriz maior (ou seja, é composta de elementos da matriz com linhas e colunas de 1 a k), então o menor principal é chamado de menor principal líder (de ordem de k) ou menor (principal) de canto (de ordem de k). Para uma matriz quadrada n × n, existem n menores principais líderes. Um menor básico de uma matriz é o determinante de uma submatriz quadrada que é de tamanho maximal com determinante diferente de zero. Para matrizes Hermitiana, os menores principais líderes podem ser usados para testar se a matriz é positiva definida e os menores principais podem ser usados para testar se é positiva semidefinida. Ver critério de Sylvester para mais detalhes. Tanto a fórmula para amultiplicação matricial ordinária e a fórmula de Cauchy-Binet para o determinante do produto de duas matrizes são casos especiais do seguinte fato geral sobre os menores de um produto de duas matrizes. Suponha que A é uma matriz m × n, B é uma matriz n × p, I é um subconjunto de {1,...,m} com k elementos e J é um subconjunto de {1,...,p}, com k elementos. Então

em que a soma se estende sobre todos os subconjuntos K de {1,...,n} com k elementos. Esta fórmula é uma simples extensão da fórmula de Cauchy-Binet.

Abordagem da álgebra multilinear Em álgebra multilinear é dado um tratamento algébrico, mais sistemático, do conceito de menor usando produto wedge: os k-menores de uma matriz são as entradas na k-ésima aplicação potência exterior.

Se é feito um produto wedge com k colunas de uma matriz de cada vez, os menores k × k aparecem como as componentes dos k-vetores resultantes. Por exemplo, os menores 2 × 2 da matriz

são −13 (para as duas primeiras linhas), −7 (para a primeira e última linha), e 5 (para as duas últimas linhas). Agora, considere o produto wedge

em que as duas expressões correspondem às duas colunas de nossa matriz. Usando as propriedades do produto wedge, mais especificamente o fato dele de que ele é bilinear e que

e

a expressão pode ser simplificada para

em que os coeficientes coincidem com os menores calculados anteriormente.

Uma observação sobre as diferentes notações Em alguns livros Felix Gantmacher, Teoria de matrizes (1ª ed., originalmente em russo), Moscou: State Publishing House de literatura técnica e teórica, 1953, p.491, é utilizado o termo adjunto em vez de cofator. Além disso, ele é indicado por Aij e definido da mesma forma que o cofator:

Usando esta notação, a matriz inversa é escrita desta forma:

Tenha em mente que o adjunto não é a adjunta. Na terminologia moderna, a "adjunta" de uma matriz se refere mais frequentemente ao operador adjunto correspondente.

Ver também Submatriz

Referências

Ligações externas MIT Álgebra Linear Palestra sobre Cofatores no Google Vídeo, do MIT OpenCourseWare PlanetMath entrada de Cofatores Springer Enciclopédia de Matemática entrada para Menores

Categoria:Determinantes Categoria:Teoria matricial