Em análise de sinais, a condição de Paley-Wiener, também conhecida como teorema de Paley-Wiener e critério de Paley-Wiener, estabelece uma condição necessária e suficiente para determinar se um dado sistema é causal, a partir de sua resposta em frequência.
Se a resposta no domínio do tempo for dada por h(t)Ou seja, h(t) é a saída do sistema quando um impulso unitário é aplicado na entrada., então, se o sistema é causal, a energia de h(t) é finita (condição de estabilidade da resposta)A energia de um sinal h(t) é calculada por meio do Teorema de Parseval/Teorema de Plancherel/fórmula de Rayleigh.Uma maneira alternativa de enunciar essa condição é dizer que h(t) é uma função de quadrado integrável, e h(t) = 0 para t < 0 (condição de causalidade da resposta). O teorema de Paley-Wiener estabelece que, se as condições acima são satisfeitas, então a resposta no domínio da frequência do sistema, dada por H(ω)Ou seja, a Transformada de Fourier de h(t)., é também limitada tal que
Inversamente, se a equação (1a) é satisfeita e a energia de H(ω) é finita, então as condições de estabilidade e causalidade do sistema são satisfeitas. Nesse caso, pode-se escrever a resposta em frequência na forma
onde φ(ω) é a resposta em fase do sistemaA. Poularikas - The Z-Transform in A. Poularikas (org) - The Transforms and Applications Handbook, 2nd. edition, Boca Raton: CRC, 2000, Cap. 6, pag. 530. Quando escrita nessa forma, H(ω) é chamada de função de transferência de mínima fase porque todos os seus zeros estão localizados na metade esquerda do plano complexoS. Hahn - The Hilbert Transforms in A. Poularikas - op.cit., Cap. 7, pag. 639.
A equação (1a) pode ser alternativamente expressa no domínio do tempo da maneira seguinte:
A equação (1b) estabelece que a amplitude da resposta do sistema (|h(t)|) não pode se aproximar de 0 mais rapidamente que uma função exponencial qualquerS. Hahn - op.cit., Cap. 7, pag. 630. Além disso, h(t) pode ser nula apenas em um número finito de pontos, nunca em um intervalo, porque nesse caso o valor do módulo do logaritmo seria infinito..
Uma terceira formulação matemática é a seguinte:
que estabelece, para a resposta em frequência, uma condição similar à estabelecida pela equação (1b) para a resposta no domínio do tempo.
Notas
Ver também Transformada de Hilbert Relações de Kramers–Kronig
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