Em matemática e, particularmente, no campo da análise complexa, o teorema de Hurwitz é um teorema de Adolf Hurwitz, que associa os zeros do limite de uma seqüência de funções holomorfas com zeros da funções da sequência, sob a condição que a convergência é uniforme em compactos.

Enunciado do Teorema Seja {} uma sequência de funções holomorfas, definidas em um domínio , e que convergem uniformemente em compactos de para uma função holomorfa não identicamente nula. Se tem um zero de ordem em , existe uma vizinhança aberta de , e tal que para , tem zeros em U. Além disso, conforme , os zeros de convergem para e .

Considerações

Deve-se notar que o teorema não vale para qualquer escolha de conjunto aberto no papel de . De fato, se escolhermos um conjunto tal que ( pertence ao fecho de ), o teorema falha. Para exemplificar isto, considere o disco unitário centrado na origem e a sequencia de funções definida por , que converge uniformemente para . Essa função limite contém um zero na fronteira de , i. e. não contem zeros em ; entretanto, cada contém um zero em . Quando dizemos , entende-se que o diâmetro da menor vizinhança de que contém os zeros, converge para zero.

Aplicações O Teorema de Hurwitz é usado na demonstração do Teorema do Mapeamento de Riemann. Além disso, seguem corolários imediatos:

Sejam um aberto conexo e {} uma sequência de funções holomorfas que converge uniformemente em compactos de para uma função holomorfa . Se (nenhuma atinge 0), então é identicamente nula, ou nunca atinge Se {} é uma sequência de funções univalentes que converge uniformemente em compactos de (como definido acima) para uma holomorfa. Então é univalente, ou constante.

Demonstração Seja uma função holomorfa em um aberto de com um zero de ordem em , e suponha que {} é uma sequência de funções holomorfas que converge uniformemente em compactos para . Sendo holomorfa, sabemos que esse zero é isolado, então tal que para todo , só tem como zero para . Por continuidade, temos que tal que , e da convergência uniforme vem que para suficientemente grande. Isso implica que as funções e estão bem definidas, são holomorfas, e uniformemente em compactos. Usando o Principio do Argumento, vemos que

,

onde é o número de zeros de , e por ser um número inteiro, para grande devemos ter . Note que os argumentos da demonstração não dependem de , podemos fazer , de modo que os zeros de se acumulam em .

Na demonstração, podemos comutar o limite com a integral devido ao teorema da convergência dominada.

Ver também Função zeta de Hurwitz Teorema de Rouché

Bibliografia

John B. Conway. Functions of One Complex Variable I. Springer-Verlag, New York, New York, 1978. E. C. Titchmarsh, The Theory of Functions, second edition (Oxford University Press, 1939; reprinted 1985), p. 119.

Categoria:Teoremas em análise complexa