Em teoria das probabilidades, a lei da probabilidade total é uma regra fundamental que relaciona probabilidades marginais e probabilidades condicionais. Ela expressa a probabilidade total de um resultado que pode ser realizado através de vários eventos distintos.
Expressão Formal A lei da probabilidade totalZwillinger, D., Kokoska, S. (2000) CRC Standard Probability and Statistics Tables and Formulae, CRC Press. ISBN 1-58488-059-7 page 31. é a proposição de que se é uma partição finita ou infinita contável de um espaço amostral, i.e. um conjunto de eventos disjuntos pares cuja união é todo o espaço da amostra, e cada evento Bn é mensurável, então, para qualquer evento A do mesmo espaço de probabilidade:
ou, alternativamente,
onde, para qualquer para que estes termos são omitidos na soma, pois é finito. A soma pode ser interpretada como uma média ponderada e, por isso, a probabilidade marginal pode ser chamada de "probabilidade média" ("average probability", em inglês).
A lei da probabilidade total também pode ser indicada para probabilidades condicionais. Tomando o mesmo acima, e assumindo que é um evento independente com qualquer dos eventos de :
Expressão Informal A expressão matemática acima pode ser interpretada da seguinte forma: "Dado um resultado , com probabilidades condicionais conhecidas dado qualquer evento de , cada um com sua probabilidade, qual é a probabilidade total de que vai acontecer?". A resposta para esta questão é .
Exemplo Suponha que duas fábricas forneçam lâmpadas para o mercado. As lâmpadas da fábrica X trabalham por mais de 5 000 horas em 99% dos casos, enquanto as lâmpadas de Y trabalham por mais de 5 000 horas em 95% dos casos. Sabe-se que a fábrica X fornece 60% das lâmpadas. Qual é a chance de que a lâmpada comprada irá funcionar por mais de horas? Aplicando a lei da probabilidade total, nós temos:
,
onde
é a probabilidade que a lâmpada comprada foi feita pela fábrica X é a probabilidade que a lâmpada comprada foi feita pela fábrica Y é a probabilidade que a lâmpada feita por X vai funcionar por mais de 5 000 h é a probabilidade que a lâmpada feita por Y vai funcionar por mais de 5 000 h
Assim, cada lâmpada comprada tem uma chance de 97,4% para o trabalho por mais de 5 000 horas.
Aplicações Uma aplicação comum da lei é o lugar onde os eventos coincidem com uma variável aleatória discreta X tomando cada valor em sua faixa, ou seja, é o evento . Segue-se que a probabilidade do evento A é igual ao valor esperado das probabilidades condicionais de um dado . Isto é,
em que é a probabilidade condicional de um dado valor da variável aleatória X. Esta probabilidade condicional é uma variável aleatória cujo valor depende de X. A probabilidade condicional é simplesmente uma probabilidade condicional de um evento, [X = x]. Sendo uma função de x, por exemplo . Então a probabilidade condicional Pr(A|X) é g(x), portanto, uma variável aleatória. Esta versão da lei da probabilidade total diz que o valor esperado da variável aleatória é o mesmo que Pr(A). Este resultado pode ser generalizado para variáveis aleatórias contínuas, e a expressão se torna
onde denota a sigma-álgebra gerada pela variável aleatória X.
Outros Nomes O termo lei da probabilidade total também é conhecido como lei das alternativas, que é um caso especial da lei da probabilidade total aplicado à variáveis aleatórias discretas. Um autor ainda utiliza a terminologia "lei contínua de alternativas", no caso contínuo. Este resultado é dado por Geoffrey Grimmett e WelshProbability: An Introduction, by Geoffrey Grimmett and Dominic Welsh, Oxford Science Publications, 1986, Theorem 1B. como o teorema de partição, um nome que eles também dão à lei de expectativa total.
Ver também Lei da expectativa total (Law of total expectation) Lei da variância total (Law of total variance) Lei da acumulação total (Law of total cumulance)
Referências
Introduction to Probability and Statistics by William Mendenhall, Robert J. Beaver, Barbara M. Beaver, Thomson Brooks/Cole, 2005, page 159. Theory of Statistics, by Mark J. Schervish, Springer, 1995. Schaum's Outline of Theory and Problems of Beginning Finite Mathematics, by John J. Schiller, Seymour Lipschutz, and R. Alu Srinivasan, McGraw–Hill Professional, 2005, page 116. A First Course in Stochastic Models, by H. C. Tijms, John Wiley and Sons, 2003, pages 431–432. An Intermediate Course in Probability, by Alan Gut, Springer, 1995, pages 5–6.
Categoria:Teoremas probabilísticos