Lógica VetorialMizraji, E. (1992). Vector logics: the matrix-vector representation of logical calculus. Fuzzy Sets and Systems, 50, 179–185, 1992Mizraji, E. (2008) Vector logic: a natural algebraic representation of the fundamental logical gates. Journal of Logic and Computation, 18, 97–121, 2008 é um modelo algébrico da lógica elementar baseado em matrizes algébricas. A lógica vetorial assume que os valores verdade mapeiam em vetores, e que as operações monádicas e diádicas são executadas por operadores matriciais.
Resumo A lógica binária é representada por um pequeno conjunto de funções matemáticas dependendo de uma (monádico) ou duas (diádico) variáveis. No conjunto binário, o valor 1 corresponde a verdadeiro e o valor 0 a falso. Uma lógica vetorial bivalorada requer uma correspondência entre os valores-verdade verdadeiro (v) e falso (f), e dois vetores coluna normalizados de dimensão q compostos por números reais s e n, sendo assim:
e
(onde é um numero natural qualquer, e “normalizado” quer dizer que o tamanho do vetor é 1; normalmente s e n são vetores ortogonais). Essa correspondência gera um espaço de vetores valores-verdade: V2 = {s,n}. As operações lógicas básicas definidas usando esse conjunto de vetores levam à operadores matriciais.
As operações da lógica vetorial são baseadas no produto escalar entre vetores coluna de dimensão q: : a ortogonalidade entre vetores s e n implica que se , e se .
Operadores monádicos Os operadores monádicos resultam da aplicação , e as matrizes associadas tem q linhas e q colunas. Os dois operadores monádicos básicos para essa lógica vetorial bivalorada são identidade e a negação:
Identidade: Uma identidade lógica ID(p) é representada pela matriz . Essa matriz opera da seguinte forma: Ip = p, p ∈ V2; como an ortogonalidade de s respeita a n, temos que , e inversamente . Negação: Uma negação lógica ¬p é representada pela matriz . Consequentemente, Ns = n e Nn = s. O comportamento involuntário da negação lógica, ou seja, ¬(¬p) é igual à p, corresponde com o fato de que N2 = I. É importante notar que essa matriz identidade da lógica vetorial nem sempre é uma matriz identidade no sentido da álgebra matricial.
Operadores diádicos Os 16 operadores diádicos 2-valorados correspondem à funções do tipo ; as matrizes diádicas tem q linhas e q2 colunas. As matrizes que executam essas operações diádicas são baseadas nas propriedades do produto de Kronecker.
Duas propriedades desse produto são essenciais para o formalismo da lógica vetorial:
Propriedade do produto misto: Se A, B, C e D são matrizes de tamanho tal onde uma pode formar os produtos de matrizes AC e BD, então : Transposta distributiva A operação de transposição é distributiva sobre o produto de Kronecker: :
Usando essas propriedades, expressões para funções lógicas diádicas podem ser obtidas:
Conjunção. A conjunção (p^q) é executada por uma matriz que atua em dois vetores valor-verdade: . Essa matriz reproduz as funcionalidades da conjunção clássica de tabela-verdade na sua formulação:
e verifica
e
Disjunção. A disjunção (p∨q) é executada pela matriz :: resultando em e
Implicação. A implicação corresponde na lógica clássica para a expressão p → q ≡ ¬p ∨ q. A versão na lógica vetorial dessa equivalência leva à uma matriz que representa essa implicação na lógica vetorial: . A expressão explícita para essa implicação é:
e as propriedades da implicação clássica são satisfeitas e
Equivalência e Disjunção exclusiva. Na lógica vetorial an equivalência p≡q é representada pela seguinte matriz: com
e
O ou exclusivo é a negação da equivalência, ¬(p≡q); isso corresponde à matriz dada por
com e
NAND e NOR As matrizes S e P correspondem às operações Sheffer (NAND) e Peirce (NOR), respectivamente:
Lei de De Morgan Na lógica de dois valores, a conjunção e a disjunção satisfazem a Lei de De Morgan: p∧q≡¬(¬p∨¬q), e o seu par: p∨q≡¬(¬p∧¬q)). Para a lógica vetorial de dois valores essa lei também é verificada:
, onde u E v são dois vetores lógicos.
O produto de Kronecker implica a seguinte fatorização:
Então pode ser provado que na lógica vetorial de duas dimensões a Lei de De Morgan é uma lei envolvendo operadores, e não somente uma lei em relação a operações:Mizraji, E. (1996) The operators of vector logic. Mathematical Logic Quarterly, 42, 27–39
Lei da contraposição No clássico cálculo de proposições, a contraposição p → q ≡ ¬q → ¬p é provada porque an equivalência vale para todas as possíveis combinações de valores-verdade de p e q.Suppes, P. (1957) Introduction to Logic, Van Nostrand Reinhold, New York. Em vez disso, na lógica vetorial, a lei da contraposição emerge de uma cadeia de igualdades dentro das regras da álgebra matricial e produtos de Kronecker, como mostrado a seguir:
Esse resultado é baseado no fato de que D, a matriz de disjunção, representa uma operação comutativa.
Lógica bidimensional multivalorada Lógica Multivalorada foi desenvolvida por muitos pesquisadores, particularmente por Jan Łukasiewicz e permite estender operações lógicas para valores-verdade que incluem incertezas.Łukasiewicz, J. (1980) Selected Works. L. Borkowski, ed., pp. 153–178. North-Holland, Amsterdam, 1980 No caso da lógica vetorial bivalorada, incertezas em valores verdade podem ser introduzidas usando vetores com s e n ponderadas por probabilidades.
Deixando , com ser esse tipo de vetores “probabilísticos”. Aqui, o caráter multivalorado da lógica é introduzido a posteriori via incertezas introduzidas nas entradas.
Projeções escalares dos vetores resultantes As saídas dessa lógica multivalorada podem ser projetadas em funções escalares e gerar uma classe particular de lógica probabilística com similaridades com a multivalorada lógica de Reichenbach.Rescher, N. (1969) Many-Valued Logic. McGraw–Hill, New YorkBlanché, R. (1968) Introduction à la Logique Contemporaine, Armand Colin, ParisKlir, G.J., Yuan, G. (1995) Fuzzy Sets and Fuzzy Logic. Prentice–Hall, New Jersey Dados dois vetores and e uma matriz lógica diádica , uma lógica probabilística escalar é fornecida pela projeção sobre vector s:
Aqui estão os principais resultados dessas projeções:
As negações associadas são:
Se os valores escalares pertencem ao conjunto {0, ½, 1}, esse escalar da lógica multivalorada é para muitas dos operadores quase idênticos aos da lógica 3-valorada de Łukasiewicz. Também, foi provado que quando os operadores monádicos ou diádicos atuam sobre vetores probabilísticos pertencentes a esse conjunto, o resultado é também um elemento desse conjunto.
História A abordagem foi inspirada em modelos de redes neurais baseados no uso de matrizes e vetores com muitas dimensões.Kohonen, T. (1977) Associative Memory: A System-Theoretical Approach. Springer-Verlag, New YorkMizraji, E. (1989) Context-dependent associations in linear distributed memories. Bulletin of Mathematical Biology, 50, 195–205 A lógica vetorial é uma tradução direta e um formalismo de matriz-vetor dos clássicos polinomiais booleanos.Boole, G. (1854) An Investigation of the Laws of Thought, on which are Founded the Theories of Logic and Probabilities. Macmillan, London, 1854; Dover, New York Reedition, 1958 Esse tipo de formalismo foi applicado para desenvolver a lógica difusa em termos de número complexo.Dick, S. (2005) Towards complex fuzzy logic. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 15,405–414, 2005 Outras abordagens de matrizes e vetores foram desenvolvidas na armação da física quântica, ciência da computação e ótica.Mittelstaedt, P. (1968) Philosophische Probleme der Modernen Physik, Bibliographisches Institut, MannheimStern, A. (1988) Matrix Logic: Theory and Applications. North-Holland, AmsterdamWestphal, J., Hardy, J. (2005) Logic as a vector system. Journal of Logic and Computation, 15, 751–765 As primeiras tentativas de usar álgebra linear para representar operações lógicas podem ser referidas à Peirce e Copilowish.Copilowish, I.M. (1948) Matrix development of the calculus of relations. Journal of Symbolic Logic, 13, 193–203 O biofísico indiano G.N. Ramachandran desenvolveu um formalismo usando matrizes algébricas e vetores para representar muitas operações da lógica indiana clássica.Jain, M.K. (2011) Logic of evidence-based inference propositions, Current Science, 1663–1672, 100
Polinômios booleanos George Boole estabeleceu o desenvolvimento de operações lógicas como polinômios. Para o caso de operações monádicas (tal como a função identidade ou negação lógica), os polinômios booleanos tem um formato como o seguinte:
As quatro diferentes operações monádicas resultam dos diferentes valores binários dos coeficientes. A função identidade requer f(1) = 1 e f(0) = 0, e a negação ocorre se f(1) = 0 e f(0) = 1. Para os 16 operadores diádicos, os polinômios booleanos são da seguinte forma:
As operações diádicas podem ser traduzidas para esse formato polinomial quando os coeficientes f tomarem os valores indicados na respectiva tabela verdade s. Por instância: a operação NAND requer o seguinte: and . Esses polinomios booleanos podem ser imediatamente estendidos para qualquer número de variáveis, produzindo um grande potencial variedade de operadores lógicos. Na lógica vetorial, a estrutura matriz-vetor dos operadores é uma exata tradução para o formato da álgebra linear desses polinômios booleanos, onde o x e 1-x correspondem aos vetores s e n respectivamente (o mesmo para y e 1-y). No exemplo de NAND, f(1,1)=n e f(1,0)=f(0,1)=f(0,0)=s e a versão matricial se tornam:
Extensões A Lógica vetorial pode ser estendida para incluir muitos valores-verdade desde que vetores de dimensões altas permitam criar muitos valores-verdade ortogonais e as correspondentes matrizes lógicas. Modalidades lógicas podem ser totalmente representadas nesse contexto, com um processo recursivo inspirado em modelos neurais.Mizraji, E. (1994) Modalities in vector logic. Notre Dame Journal of Formal Logic, 35, 272–283 Alguns problemas cognitivos sobre computações lógicas podem ser analisados usando este formalismo, em particular decisões recursivas. Qualquer expressão lógica da lógica proposicional pode ser naturalmente representada por uma árvore. Esse fato é retido pela lógica vetorial, e tem sido usada parcialmente em modelos neurais focados em investigação de estruturas ramificadas da linguagem natural.Mizraji, E., Lin, J. (2002) The dynamics of logical decisions. Physica D, 168–169, 386–396beim Graben, P., Potthast, R. (2009). Inverse problems in dynamic cognitive modeling. Chaos, 19, 015103beim Graben, P., Pinotsis, D., Saddy, D., Potthast, R. (2008). Language processing with dynamic fields. Cogn. Neurodyn., 2, 79–88beim Graben, P., Gerth, S., Vasishth, S.(2008) Towards dynamical system models of language-related brain potentials. Cogn. Neurodyn., 2, 229–255beim Graben, P., Gerth, S. (2012) Geometric representations for minimalist grammars. Journal of Logic, Language and Information, 21, 393-432 .Binazzi, A.(2012) Cognizione logica e modelli mentali. Studi sulla formazione, 1–2012, pag. 69–84 As operações reversíveis via computação como a Fredkin gate podem ser implementadas na lógica vetorial. Essas implementações proveem expressões explícitas para operadores matriciais que produzem o formato da entrada e o filtro da saída necessário para obter computações A Automação celular elementar pode ser analisada usando an estrutura de operador da lógica vetorial; essa análise leva an uma decomposição espectral das leis governando essas dinâmicas.Mizraji, E. (2006) The parts and the whole: inquiring how the interaction of simple subsystems generates complexity. International Journal of General Systems, 35, pp. 395–415.Arruti, C., Mizraji, E. (2006) Hidden potentialities. International Journal of General Systems, 35, 461–469.
Ver também Lógica quântica Álgebra Booleana Lógica proposicional George Boole Jan Łukasiewicz
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