Nó de trevo (ou nó trifólio) é o exemplo mais simples de um nó não trivial. Pode ser obtido juntando as duas extremidades, resultando em um laço atado. Como o nó simples, o nó de trevo é fundamental para o estudo da teoria dos nós matemática, onde tem diversas aplicações em topologia e geometria.
O nó tem esse nome por causa de sua semelhança com folhas do trevo.
Descrição O nó de trevo pode ser definido com as seguintes equações paramétricas:
Qualquer deformação contínua da curva acima também é considerada um nó de trevo. Especificamente, qualquer curva isotópica a um nó de trevo é também considerada um nó de trevo. Além disso, a imagem espelhada (ou especular) de um nó de trevo também é considerada como um trevo. Na topologia e na teoria dos nós, o trevo é geralmente definido usando um diagrama de nó em vez de uma equação paramétrica explícita.
Na geometria algébrica, o trevo também pode ser obtido como a intersecção em C2 da esfera tridimensional unitária S3 com a curva plana complexa de zeros do polinômio complexo z2 + w3 (uma parábola semicúbica).Se uma extremidade de uma fita (ou faixa) é virada três vezes e, em seguida, colada na outra, o bordo do papel forma um nó de trevo.Shaw, George Russell (). Knots: Useful & Ornamental, p.11. ISBN 978-0-517-46000-9.
Simetria O nó de trevo é quiral, no sentido de que um nó de trevo pode ser distinguido de sua própria imagem espelhada. As duas variantes resultantes são conhecidas como o trevo canhoto e o trevo destro. Não é possível deformar um trevo canhoto continuamente em um trevo destro, ou vice-versa. (Ou seja, os dois trevos não são isotópicos.) Embora o nó de trevo seja quiral, é também invertível, significando que não há nenhuma distinção entre um trevo orientado no sentido anti-horário e um trevo orientado no sentido horário. Ou seja, a quiralidade de um trevo depende apenas da forma como se dão os cruzamentos, não da orientação da curva. ligação=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Example_of_Knots.svg|miniaturadaimagem|220x220px|Nó de mão torna-se um nó trevo juntando as extremidades.
Não trivialidade O nó de trevo não é trivial, o que significa que não é possível "desatar" um nó de trevo em três dimensões sem cortá-lo. Do ponto de vista matemático, isso significa que um nó de trevo não é isotópico a um círculo, que é o nó trivial. Em particular, não há nenhuma seqüência de movimentos de Reidemeister que irá desatar um trevo.
Provar isso requer a construção de um invariante de nós que distinga o trevo do nó trivial. O invariante mais simples que faz isso a propriedade de ser ou não tricolorizável: o trevo é tricolorizável, mas o nó trivial não é. Além disso, praticamente todos os invariantes polinomiais de nós distinguem o trevo de um nó trivial, assim como a maioria dos invariantes de nós relevantes.
Classificação Na teoria dos nós, o trevo é o primeiro nó não trivial, e é o único nó com três cruzamentos. É um nó primo, e é listado como 3_1 na notação de Alexander-Briggs. A notação de Dowker para o trevo é 4 6 2, e a notação de Conway para o trevo é .
O trevo pode ser descrito como o nó toral (2,3). É também o nó obtido pelo fechamento da trança σ13.
O trevo é um nó alternado. No entanto, não é um nó de fatia, o que significa que ele não limita um disco bidimensional suave na bola de quatro dimensões; uma maneira de provar isso é notar que sua assinatura não é zero. Outra prova é que seu polinômio de Alexander não satisfaz a condição de Fox-Milnor.
O trevo é um nó fibrado, o que significa que seu complemento em é um feixe de fibras sobre o círculo . No modelo do trevo como o conjunto de pares de números complexos tais que e , esse feixe de fibras tem o mapa de Milnor como sua fibração, e um toro com um furo como sua superfície de fibra.
Invariantes O polinômio de Alexander do nó de trevo éː
e o polinômio de Conway éː
O polinômio de Jones éː
e o polinômio de Kauffman do trevo éː
O grupo de nó do trevo é dado pela apresentação
ou, equivalentemente, Accessed: May 5, 2013. Esse grupo é isomórfico ao grupo de tranças com três cordas.
Na religião e na cultura Como o mais simples nó não trivial, o nó de trevo é um motivo comum na iconografia e artes visuais. Por exemplo, a forma comum do símbolo de triquetra é um trevo, como são algumas versões do Valknut.
Galeria de Fotos
Ver também Nó (matemática) Nó primo Teoria dos Nós Anexo:Lista de nós Triquetra, um símbolo originário da tradição celta que é relacionado com o nó de trevo.
Ligações externas Wolframalpha: (2,3)-torus knot
Categoria:Topologia (matemática) Categoria:Teoria dos nós