Em matemática, a álgebra tensorial de um espaço vetorial V, denotada T(V) ou T(V), é a álgebra de tensores sobre V (de qualquer ordem), com a multiplicação sendo o produto tensorial. É a álgebra livre sobre V, no sentido de ser adjunta à esquerda do funtor esquecido de álgebras para espaços vetoriais: é a álgebra "mais geral" que contém V, no sentido da propriedade universal correspondente (veja abaixo).
A álgebra tensorial é importante porque muitas outras álgebras surgem como álgebras quocientes de T(V). Estas incluem a álgebra exterior, a álgebra simétrica, as álgebras de Clifford, a álgebra de Weyl e as álgebras envelopantes universais.
A álgebra tensorial também possui duas estruturas de coálgebra; uma simples, que não a torna uma bi-álgebra, mas leva ao conceito de coálgebra co-livre, e outra mais complicada, que produz uma biálgebra e pode ser estendida ao fornecer um antípoda para criar uma estrutura de álgebra de Hopf.
Nota: Neste artigo, todas as álgebras são assumidas como unitárias e associativas. A unidade é explicitamente necessária para definir o coproduto.
Construção Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Para qualquer inteiro não negativo k, definimos a k-ésima potência tensorial de V como o produto tensorial de V consigo mesmo k vezes:
Isto é, TkV consiste em todos os tensores sobre V de ordem k. Por convenção, T0V é o corpo base K (como um espaço vetorial unidimensional sobre si mesmo).
Construímos então T(V) como a soma direta de TkV para k = 0,1,2,…
A multiplicação em T(V) é determinada pelo isomorfismo canônico
dado pelo produto tensorial, que é então estendido por linearidade a toda a T(V). Esta regra de multiplicação implica que a álgebra tensorial T(V) é naturalmente uma álgebra graduada com TkV servindo como o subespaço de grau k. Esta gradação pode ser estendida a uma gradação Z acrescentando subespaços para inteiros negativos k.
A construção generaliza-se de maneira direta para a álgebra tensorial de qualquer módulo M sobre um anel comutativo. Se R é um anel não comutativo, ainda se pode realizar a construção para qualquer bimódulo R-R M. (Não funciona para R-módulos comuns porque os produtos tensoriais iterados não podem ser formados.)
Adjuncção e propriedade universal A álgebra tensorial também é chamada de álgebra livre sobre o espaço vetorial , e é funtorial; isto significa que o mapa se estende a aplicações lineares para formar um funtor da categoria dos espaços vetoriais para a categoria das álgebras associativas. Similarmente a outras construções livres, o funtor é adjunto esquerdo do funtor esquecido que envia cada -álgebra associativa ao seu espaço vetorial subjacente.
Explicitamente, a álgebra tensorial satisfaz a seguinte propriedade universal, que expressa formalmente a afirmação de que é a álgebra mais geral que contém V: Qualquer aplicação linear de para uma álgebra associativa sobre pode ser estendida de forma única a um homomorfismo de álgebras de para , conforme indicado pelo seguinte diagrama comutativo:
Aqui é a inclusão canônica de em . Quanto a outras propriedades universais, a álgebra tensorial pode ser definida como a única álgebra que satisfaz esta propriedade (especificamente, é única a menos de um isomorfismo único), mas esta definição exige provar que existe um objeto que satisfaz esta propriedade.
A propriedade universal acima implica que é um funtor da categoria de espaços vetoriais sobre para a categoria de -álgebras. Isso significa que qualquer aplicação linear entre -espaços vetoriais e se estende unicamente a um homomorfismo de -álgebras de para .
Polinômios não comutativos Se V tem dimensão finita n, outra maneira de ver a álgebra tensorial é como a "álgebra de polinômios sobre K em n variáveis não comutativas". Se tomarmos vetores de base para V, estes se tornam variáveis não comutativas (ou indeterminadas) em T(V), sujeitas a nenhuma restrição além da associatividade, da lei distributiva e da K-linearidade.
Observe que a álgebra de polinômios sobre V não é , mas sim : uma função linear (homogênea) sobre V é um elemento de por exemplo, as coordenadas em um espaço vetorial são co-vetores, pois recebem um vetor e produzem um escalar (a coordenada dada do vetor).
Quocientes
Devido à generalidade da álgebra tensorial, muitas outras álgebras de interesse podem ser construídas começando pela álgebra tensorial e impondo certas relações sobre os geradores, ou seja, construindo certas álgebras quocientes de T(V). Exemplos disso são a álgebra exterior, a álgebra simétrica, as álgebras de Clifford, a álgebra de Weyl e as álgebras envelopantes universais.
Coálgebra A álgebra tensorial tem duas estruturas de coálgebra diferentes. Uma é compatível com o produto tensorial e, portanto, pode ser estendida a uma biálgebra, e pode ser ainda estendida com um antípoda para uma estrutura de álgebra de Hopf. A outra estrutura, embora mais simples, não pode ser estendida a uma biálgebra. A primeira estrutura é desenvolvida imediatamente abaixo; a segunda estrutura é dada na seção sobre a coálgebra co-livre, mais adiante.
O desenvolvimento fornecido abaixo pode ser igualmente bem aplicado à álgebra exterior, usando o símbolo de cunha no lugar do símbolo tensorial ; um sinal também deve ser acompanhado ao permutar elementos da álgebra exterior. Esta correspondência também dura através da definição da biálgebra e até a definição de uma álgebra de Hopf. Isto é, a álgebra exterior também pode receber uma estrutura de álgebra de Hopf.
Similarmente, a álgebra simétrica também pode receber a estrutura de uma álgebra de Hopf, exatamente da mesma forma, substituindo em todos os lugares o produto tensorial pelo produto tensorial simetrizado , ou seja, aquele produto onde
Em cada caso, isso é possível porque o produto alternado e o produto simétrico obedecem às condições de consistência exigidas para a definição de uma biálgebra e de uma álgebra de Hopf; isso pode ser explicitamente verificado da maneira abaixo. Sempre que se tem um produto obedecendo a essas condições de consistência, a construção funciona; na medida em que tal produto deu origem a um espaço quociente, o espaço quociente herda a estrutura de álgebra de Hopf.
Na linguagem da teoria das categorias, diz-se que existe um funtor da categoria dos -espaços vetoriais para a categoria das -álgebras associativas. Mas também há um funtor levando espaços vetoriais à categoria das álgebras exteriores, e um funtor levando espaços vetoriais a álgebras simétricas. Há uma aplicação natural de para cada uma delas. Verificar que o quociente preserva a estrutura de álgebra de Hopf é o mesmo que verificar que as aplicações são de fato naturais.
Coproduto A coálgebra é obtida definindo um coproduto ou operador diagonal
Aqui, é usado como abreviação de para evitar uma explosão de parênteses. O símbolo é usado para denotar o produto tensorial "externo", necessário para a definição de uma coálgebra. Ele está sendo usado para distingui-lo do produto tensorial "interno" , que já está sendo usado para denotar a multiplicação na álgebra tensorial (veja a seção Multiplicação, abaixo, para mais esclarecimentos sobre esta questão). A fim de evitar confusão entre esses dois símbolos, a maioria dos textos substituirá por um ponto simples, ou até mesmo o omitirá completamente, com o entendimento de que está implícito pelo contexto. Isso então permite que o símbolo seja usado no lugar do símbolo . Isso não é feito abaixo, e os dois símbolos são usados de forma independente e explícita, de modo a mostrar a localização adequada de cada um. O resultado é um pouco mais verboso, mas deve ser mais fácil de compreender.
A definição do operador é mais facilmente construída em etapas, primeiro definindo-o para elementos e então estendendo-o homomorficamente para toda a álgebra. Uma escolha adequada para o coproduto é então
e
onde é a unidade do corpo . Por linearidade, tem-se obviamente
para todo É simples verificar que esta definição satisfaz os axiomas de uma coálgebra: isto é, que
onde é a aplicação identidade em . De fato, obtém-se
e da mesma forma para o outro lado. Neste ponto, poder-se-ia invocar um lema e dizer que se estende trivialmente, por linearidade, a toda a , porque é um objeto livre e é um gerador da álgebra livre, e é um homomorfismo. No entanto, é esclarecedor fornecer expressões explícitas. Assim, para , tem-se (por definição) o homomorfismo
Expandindo, tem-se
Na expansão acima, não há necessidade de escrever , pois isso é apenas multiplicação escalar comum na álgebra; isto é, tem-se trivialmente que
A extensão acima preserva a gradação da álgebra. Isto é,
Continuando desta forma, pode-se obter uma expressão explícita para o coproduto agindo sobre um elemento homogêneo de ordem m:
onde o símbolo , que deve aparecer como ш, o sha, denota o produto de embaralhamento. Isso é expresso na segunda soma, que é tomada sobre todos os (p, m − p)-embaralhamentos. O embaralhamento é
Por convenção, toma-se que Sh(m,0) e Sh(0,m) é igual a {id: {1, ..., m} → {1, ..., m}}. Também é conveniente tomar os produtos tensoriais puros
e como iguais a 1 para p = 0 e p = m, respectivamente (o produto vazio em ). O embaralhamento segue diretamente do primeiro axioma de uma co-álgebra: a ordem relativa dos elementos é preservada no embaralhamento de riffle: o embaralhamento de riffle meramente divide a sequência ordenada em duas sequências ordenadas, uma à esquerda e outra à direita.
Equivalentemente,
onde os produtos estão em , e onde a soma é sobre todos os subconjuntos de .
Como antes, a gradação da álgebra é preservada:
Counidade A counidade é dada pela projeção da componente do corpo para fora da álgebra. Isso pode ser escrito como para e para . Por homomorfismo sob o produto tensorial , isso se estende a
para todo É simples verificar que esta counidade satisfaz o axioma necessário para a coálgebra:
Trabalhando isso explicitamente, tem-se
onde, para o último passo, fez-se uso do isomorfismo , como é apropriado para o axioma definidor da counidade.
Biálgebra Uma biálgebra define tanto multiplicação quanto comultiplicação, e exige que sejam compatíveis.
Multiplicação A multiplicação é dada por um operador
que, neste caso, já foi dado como o produto tensorial "interno". Isto é,
Isto é, O acima deve deixar claro por que o símbolo precisa ser usado: o era na verdade uma e a mesma coisa que ; e o descuido notacional aqui levaria ao caos absoluto. Para reforçar isso: o produto tensorial da álgebra tensorial corresponde à multiplicação usada na definição de uma álgebra, enquanto o produto tensorial é o requerido na definição de comultiplicação em uma coálgebra. Esses dois produtos tensoriais não são a mesma coisa!
Unidade A unidade para a álgebra
é apenas a inclusão, de modo que
Que a unidade é compatível com o produto tensorial é "trivial": é apenas parte da definição padrão do produto tensorial de espaços vetoriais. Isto é, para o elemento de corpo k e qualquer Mais detalhadamente, os axiomas para uma álgebra associativa exigem os dois homomorfismos (ou diagramas comutativos):
em , e, simetricamente, em , que
onde o lado direito dessas equações deve ser entendido como o produto escalar.
Compatibilidade A unidade e a counidade, e a multiplicação e a comultiplicação, todas têm que satisfazer condições de compatibilidade. É simples ver que
Similarmente, a unidade é compatível com a comultiplicação:
O acima requer o uso do isomorfismo para funcionar; sem isso, perde-se a linearidade. Componente a componente,
com o lado direito fazendo uso do isomorfismo.
A multiplicação e a counidade são compatíveis:
sempre que x ou y não são elementos de , e, caso contrário, tem-se multiplicação escalar no corpo: A mais difícil de verificar é a compatibilidade da multiplicação e da comultiplicação: